题目
4/25 判断题（4分）d(x^2)=3x^2dx（）bigcirc正确bigcirc错误
4/25 判断题（4分）
$d(x^{2})=3x^{2}dx$（）
$\bigcirc$正确
$\bigcirc$错误
题目解答
答案
我们来分析这个判断题。
题目给出的表达式是 $d(x^{2})=3x^{2}dx$。
首先，我们需要回顾微分的基本概念。对于一个函数 $f(x)$，其微分 $df$ 可以表示为：
\[ df = f'(x)dx \]
其中，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导数，$dx$ 是自变量 $x$ 的微小变化。
在这个问题中，函数 $f(x) = x^2$。我们需要计算 $x^2$ 的微分 $d(x^2)$。
1. 计算 $x^2$ 的导数：
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
2. 根据微分的定义，$d(x^2)$ 可以表示为：
\[ d(x^2) = 2x \, dx \]
题目给出的表达式是 $d(x^2) = 3x^2 \, dx$，而我们计算得到的正确表达式是 $d(x^2) = 2x \, dx$。
显然，$2x \, dx$ 不等于 $3x^2 \, dx$。
因此，题目中的表达式是错误的。
答案：错误
解析
本题考查函数微分的计算。解题思路是先明确函数微分的定义，再根据定义求出给定函数的微分，最后将求出的微分与题目所给的微分表达式进行对比，判断对错。
根据微分的定义，对于函数$y = f(x)$，其微分$dy$的计算公式为$dy = f^\prime(x)dx$，其中$f^\prime(x)$是函数$f(x)$的导数。
在本题中，函数$f(x)=x^2$，我们按照以下步骤进行计算：
- 求$f(x)=x^2$的导数：
根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$f(x)=x^2$，$n = 2$，则$f^\prime(x)=\frac{d}{dx}(x^2)=2x$。 - 计算$f(x)=x^2$的微分：
由微分的定义$d(x^2)=f^\prime(x)dx$，将$f^\prime(x)=2x$代入可得$d(x^2)=2xdx$。 - 对比判断：
题目中给出的表达式是$d(x^2)=3x^2dx$，而我们计算得出$d(x^2)=2xdx$，因为$2xdx\neq3x^2dx$，所以该判断题的说法是错误的。