题目
3.袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币(次品硬币两面均印有国徽)。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少?
3.袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币(次品硬币两面均印有国徽)。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少?
题目解答
答案
设事件 $ A $ 为“取到正品硬币”，事件 $ B $ 为“3次投掷均出现国徽”。已知：
- $ P(A) = \frac{5}{8} $，$ P(\overline{A}) = \frac{3}{8} $
- $ P(B|A) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $，$ P(B|\overline{A}) = 1 $
由全概率公式得：
\[
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{1}{8} \times \frac{5}{8} + 1 \times \frac{3}{8} = \frac{5}{64} + \frac{24}{64} = \frac{29}{64}
\]
根据贝叶斯定理：
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{8} \times \frac{5}{8}}{\frac{29}{64}} = \frac{5}{29}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{5}{29}}$
解析
步骤 1：定义事件
设事件 $ A $ 为“取到正品硬币”，事件 $ B $ 为“3次投掷均出现国徽”。
步骤 2：计算概率
- $ P(A) = \frac{5}{8} $，$ P(\overline{A}) = \frac{3}{8} $，因为袋中有5枚正品硬币和3枚次品硬币。
- $ P(B|A) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $，因为正品硬币投掷3次，每次出现国徽的概率为$\frac{1}{2}$。
- $ P(B|\overline{A}) = 1 $，因为次品硬币两面均印有国徽，所以投掷3次均出现国徽的概率为1。
步骤 3：应用全概率公式
\[ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{1}{8} \times \frac{5}{8} + 1 \times \frac{3}{8} = \frac{5}{64} + \frac{24}{64} = \frac{29}{64} \]
步骤 4：应用贝叶斯定理
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{8} \times \frac{5}{8}}{\frac{29}{64}} = \frac{5}{29} \]
设事件 $ A $ 为“取到正品硬币”，事件 $ B $ 为“3次投掷均出现国徽”。
步骤 2：计算概率
- $ P(A) = \frac{5}{8} $，$ P(\overline{A}) = \frac{3}{8} $，因为袋中有5枚正品硬币和3枚次品硬币。
- $ P(B|A) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $，因为正品硬币投掷3次，每次出现国徽的概率为$\frac{1}{2}$。
- $ P(B|\overline{A}) = 1 $，因为次品硬币两面均印有国徽，所以投掷3次均出现国徽的概率为1。
步骤 3：应用全概率公式
\[ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{1}{8} \times \frac{5}{8} + 1 \times \frac{3}{8} = \frac{5}{64} + \frac{24}{64} = \frac{29}{64} \]
步骤 4：应用贝叶斯定理
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{8} \times \frac{5}{8}}{\frac{29}{64}} = \frac{5}{29} \]