题目

25. (7.0分) 求 二 元 函 数f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极值

25. (7.0分) 求 二 元 函 数 $f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3x^{2}+3y^{2}-9x$的极值

题目解答

答案

这是一道求解二元函数极值的微积分题目。我们将按照求极值的步骤，先求驻点，再利用二阶偏导数进行判断，最后计算出极值。

已知函数：
$f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$

第一步：求函数的一阶偏导数，并令其等于零以寻找驻点。

对 $x$ 求偏导数：
$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x) = 3x^2 + 6x - 9$

对 $y$ 求偏导数：
$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x) = -3y^2 + 6y$

令 $f_x = 0$ 且 $f_y = 0$，得到方程组：
$\begin{cases}3x^2 + 6x - 9 = 0 \\-3y^2 + 6y = 0\end{cases}$

第二步：解方程组求驻点。

化简第一个方程：
$3(x^2 + 2x - 3) = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x + 3)(x - 1) = 0$
解得：$x_1 = 1$, $x_2 = -3$

化简第二个方程：
$-3y(y - 2) = 0$
解得：$y_1 = 0$, $y_2 = 2$

将 $x$ 和 $y$ 的解组合，得到四个驻点：
$(1, 0)$, $(1, 2)$, $(-3, 0)$, $(-3, 2)$

第三步：求函数的二阶偏导数。

$A = f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + 6x - 9) = 6x + 6$
$B = f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 6x - 9) = 0$
$C = f_{yy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(-3y^2 + 6y) = -6y + 6$

第四步：对每个驻点使用二阶偏导数判别法（计算 $\Delta = AC - B^2$）。

  1. 对于驻点 $(1, 0)$：
    $x = 1, y = 0$
    $A = 6(1) + 6 = 12$
    $B = 0$
    $C = -6(0) + 6 = 6$
    $\Delta = AC - B^2 = 12 \times 6 - 0^2 = 72 > 0$
    因为 $\Delta > 0$ 且 $A = 12 > 0$，所以 $f(x, y)$ 在点 $(1, 0)$ 处取得极小值。

  2. 对于驻点 $(1, 2)$：
    $x = 1, y = 2$
    $A = 6(1) + 6 = 12$
    $B = 0$
    $C = -6(2) + 6 = -6$
    $\Delta = AC - B^2 = 12 \times (-6) - 0^2 = -72 < 0$
    因为 $\Delta < 0$，所以点 $(1, 2)$ 不是极值点（是鞍点）。

  3. 对于驻点 $(-3, 0)$：
    $x = -3, y = 0$
    $A = 6(-3) + 6 = -12$
    $B = 0$
    $C = -6(0) + 6 = 6$
    $\Delta = AC - B^2 = (-12) \times 6 - 0^2 = -72 < 0$
    因为 $\Delta < 0$，所以点 $(-3, 0)$ 不是极值点（是鞍点）。

  4. 对于驻点 $(-3, 2)$：
    $x = -3, y = 2$
    $A = 6(-3) + 6 = -12$
    $B = 0$
    $C = -6(2) + 6 = -6$
    $\Delta = AC - B^2 = (-12) \times (-6) - 0^2 = 72 > 0$
    因为 $\Delta > 0$ 且 $A = -12 < 0$，所以 $f(x, y)$ 在点 $(-3, 2)$ 处取得极大值。

第五步：计算极值。

  • 极小值在点 $(1, 0)$ 处取得：
    $f(1, 0) = 1^3 - 0^3 + 3(1)^2 + 3(0)^2 - 9(1) = 1 - 0 + 3 + 0 - 9 = -5$

  • 极大值在点 $(-3, 2)$ 处取得：
    $f(-3, 2) = (-3)^3 - 2^3 + 3(-3)^2 + 3(2)^2 - 9(-3)$
    $= -27 - 8 + 3(9) + 3(4) + 27$
    $= -27 - 8 + 27 + 12 + 27$
    $= 31$

结论：
该二元函数的极小值为 $f(1, 0) = -5$，极大值为 $f(-3, 2) = 31$。