题目
8.设母体X的分布密度为-|||-f(x)= ) (e)^-(x-theta ), xgeqslant theta 0 , xlt theta .-|||-试求θ的最大似然估计。
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数 $L(\theta)$ 为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} e^{-(X_i - \theta)} \cdot I(X_i \geq \theta)
$$
其中 $I(X_i \geq \theta)$ 是指示函数，当 $X_i \geq \theta$ 时取值为1，否则为0。
步骤 2：简化似然函数
由于 $I(X_i \geq \theta)$ 的存在，似然函数可以简化为：
$$
L(\theta) = e^{-\sum_{i=1}^{n} (X_i - \theta)} \cdot I(X_{(1)} \geq \theta)
$$
其中 $X_{(1)} = \min\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$ 是样本中的最小值。
步骤 3：求最大似然估计
为了使似然函数 $L(\theta)$ 最大，需要使 $e^{-\sum_{i=1}^{n} (X_i - \theta)}$ 最大，同时满足 $X_{(1)} \geq \theta$。由于 $e^{-\sum_{i=1}^{n} (X_i - \theta)}$ 随着 $\theta$ 的增加而增加，因此最大似然估计 $\hat{\theta}$ 应该是满足 $X_{(1)} \geq \theta$ 的最大值，即 $\hat{\theta} = X_{(1)}$。
给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数 $L(\theta)$ 为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} e^{-(X_i - \theta)} \cdot I(X_i \geq \theta)
$$
其中 $I(X_i \geq \theta)$ 是指示函数，当 $X_i \geq \theta$ 时取值为1，否则为0。
步骤 2：简化似然函数
由于 $I(X_i \geq \theta)$ 的存在，似然函数可以简化为：
$$
L(\theta) = e^{-\sum_{i=1}^{n} (X_i - \theta)} \cdot I(X_{(1)} \geq \theta)
$$
其中 $X_{(1)} = \min\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$ 是样本中的最小值。
步骤 3：求最大似然估计
为了使似然函数 $L(\theta)$ 最大，需要使 $e^{-\sum_{i=1}^{n} (X_i - \theta)}$ 最大，同时满足 $X_{(1)} \geq \theta$。由于 $e^{-\sum_{i=1}^{n} (X_i - \theta)}$ 随着 $\theta$ 的增加而增加，因此最大似然估计 $\hat{\theta}$ 应该是满足 $X_{(1)} \geq \theta$ 的最大值，即 $\hat{\theta} = X_{(1)}$。