下列选项中极限不存在的是(）。 A. lim _(n arrow infty) 2^n B. lim _(n arrow infty) (1)/(2^n) C. lim _(n arrow infty) (3n^2 + n - 2)/(2n^2 - n + 1) D. lim _(n arrow infty) (3n^2 + n - 2)/(2n^3 - n + 1)
题目解答
答案
为了确定哪个选项中的极限不存在，我们需要分别计算每个选项的极限。 选项A: $\lim_{n \to \infty} 2^n$ 随着 $n$ 的增加，$2^n$ 以指数方式增长。因此，当 $n$ 趋向于无穷大时，$2^n$ 趋向于无穷大。所以，极限不存在（它趋于无穷大）。 $\lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$ 选项B: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}$ 随着 $n$ 的增加，$2^n$ 以指数方式增长，因此 $\frac{1}{2^n}$ 以指数方式减小。因此，当 $n$ 趋向于无穷大时，$\frac{1}{2^n}$ 趋向于0。所以，极限存在，等于0。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$ 选项C: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1}$ 为了找到这个极限，我们用分母中 $n$ 的最高次幂，即 $n^2$，除以分子和分母。 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}$ 所以，极限存在，等于 $\frac{3}{2}$。 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1} = \frac{3}{2}$ 选项D: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1}$ 为了找到这个极限，我们用分母中 $n$ 的最高次幂，即 $n^3$，除以分子和分母。 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{0 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = 0$ 所以，极限存在，等于0。 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1} = 0$ 从上述计算中，我们看到唯一极限不存在的选项是选项A。因此，答案是： $\boxed{A}$
解析
本题主要考查数列极限的计算及极限存在性的判断。解题思路是分别对每个选项中的数列极限进行计算，根据极限的性质和运算法则来确定极限是否存在。
选项A
对于$\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n$，指数函数$y = a^x$（$a>1$），当$x$趋于无穷大时，函数值也趋于无穷大。在$2^n$中$a = 2>1$，随着$n$的不断增大，$2^n$的值会越来越大，趋向于正无穷。所以$\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n = \infty$，极限不存在。
选项B
对于$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}$，因为$\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n = \infty$，根据极限的性质，当分母趋于无穷大时，分数的值趋于$0$。即$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0$，极限存在。
选项C
对于$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1}$，分子分母同时除以分母中$n$的最高次幂$n^2$：
$\begin{align*}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^2 - n + 1}&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}\\&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}\end{align*}$
根据极限运算法则$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}=0$，可得：
$\begin{align*}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}&=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty}(3 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2})}{\lim _{n \rightarrow \infty}(2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}\\&=\frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0}\\&=\frac{3}{2}\end{align*}$
所以极限存在，等于$\frac{3}{2}$。
选项D
对于$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1}$，分子分母同时除以分母中$n$的最高次幂$n^3$：
$\begin{align*}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2 + n - 2}{2n^3 - n + 1}&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^3} + \frac{n}{n^3} - \frac{2}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{n}{n^3} + \frac{1}{n^3}}\\&=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}}\end{align*}$
根据极限运算法则$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3}=0$，可得：
$\begin{align*}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}}&=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty}(\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n^3})}{\lim _{n \rightarrow \infty}(2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3})}\\&=\frac{0 + 0 - 0}{2 - 0 + 0}\\&= 0\end{align*}$
所以极限存在，等于$0$。