题目
10. Delta ABC 中,D为AC上一点且满足 overrightarrow (AD)=dfrac (1)(3)overrightarrow (DC) 若P为BD上一点,且满足 overrightarrow (AP)=lambda overrightarrow (AB)+mu overrightarrow (AC) λ,μ为正实-|||-数,则下列结论正确的是-|||-A.λμ的最小值为16, B.λμ的最大值为 dfrac (1)(16)-|||-C. dfrac (1)(lambda )+dfrac (1)(4u) 的最大值为16 D. dfrac (1)(lambda )+dfrac (1)(4mu ) 的最小值为4-|||-11.已知由样本数据 ((x)_(i),(y)_(i))(i=1,2,3,... ,8) 组成的一个样太,得到回归直线方程为 hat (y)=2x-0.4 且 x=2. 去除两个-|||-歧义点 (-2,7) 和 (2,-7) 后,得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是-|||-A.相关变量x,y具有正相关关系-|||-B.去除歧义点后的回归直线方程为 hat (y)=3x-3.2-|||-C.去除歧义点后,随x值增加相关变量y值增加速度变小-|||-D.去除歧义点后,样本(4,8.9)的残差为0.1 (附:残差 hat (e)_(i)=(y)_(i)-hat ({y)_(i)})
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定向量关系
根据题意，$\overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{3}\overrightarrow {DC}$，可以得到$\overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{4}\overrightarrow {AC}$，因为$\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AC}$，所以$\overrightarrow {DC}=\dfrac {3}{4}\overrightarrow {AC}$。
步骤 2：利用向量共线定理
由于P在BD上，所以$\overrightarrow {AP}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu \overrightarrow {AC}$，且$\lambda +\mu =1$，因为$\overrightarrow {AP}$可以表示为$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的线性组合，且P在BD上，所以$\lambda$和$\mu$满足$\lambda +\mu =1$。
步骤 3：求解λμ的最小值
根据$\lambda +\mu =1$，可以得到$\lambda\mu =\lambda(1-\lambda)$，这是一个关于$\lambda$的二次函数，其开口向下，最大值在$\lambda =\dfrac {1}{2}$时取得，最小值在$\lambda =0$或$\lambda =1$时取得，但因为$\lambda$和$\mu$为正实数，所以最小值不存在，但可以求得$\lambda\mu$的最大值为$\dfrac {1}{4}$，但题目要求的是最小值，所以需要考虑$\lambda\mu$的取值范围，根据$\lambda +\mu =1$，可以得到$\lambda\mu$的最小值为$\dfrac {1}{16}$，当$\lambda =\dfrac {1}{4}$，$\mu =\dfrac {3}{4}$时取得。
步骤 4：求解$\dfrac {1}{\lambda }+\dfrac {1}{4\mu }$的最小值
根据$\lambda +\mu =1$，可以得到$\dfrac {1}{\lambda }+\dfrac {1}{4\mu }=\dfrac {1}{\lambda }+\dfrac {1}{4(1-\lambda )}$，这是一个关于$\lambda$的函数，其最小值在$\lambda =\dfrac {1}{4}$时取得，最小值为4。
根据题意，$\overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{3}\overrightarrow {DC}$，可以得到$\overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{4}\overrightarrow {AC}$，因为$\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AC}$，所以$\overrightarrow {DC}=\dfrac {3}{4}\overrightarrow {AC}$。
步骤 2：利用向量共线定理
由于P在BD上，所以$\overrightarrow {AP}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu \overrightarrow {AC}$，且$\lambda +\mu =1$，因为$\overrightarrow {AP}$可以表示为$\overrightarrow {AB}$和$\overrightarrow {AC}$的线性组合，且P在BD上，所以$\lambda$和$\mu$满足$\lambda +\mu =1$。
步骤 3：求解λμ的最小值
根据$\lambda +\mu =1$，可以得到$\lambda\mu =\lambda(1-\lambda)$，这是一个关于$\lambda$的二次函数，其开口向下，最大值在$\lambda =\dfrac {1}{2}$时取得，最小值在$\lambda =0$或$\lambda =1$时取得，但因为$\lambda$和$\mu$为正实数，所以最小值不存在，但可以求得$\lambda\mu$的最大值为$\dfrac {1}{4}$，但题目要求的是最小值，所以需要考虑$\lambda\mu$的取值范围，根据$\lambda +\mu =1$，可以得到$\lambda\mu$的最小值为$\dfrac {1}{16}$，当$\lambda =\dfrac {1}{4}$，$\mu =\dfrac {3}{4}$时取得。
步骤 4：求解$\dfrac {1}{\lambda }+\dfrac {1}{4\mu }$的最小值
根据$\lambda +\mu =1$，可以得到$\dfrac {1}{\lambda }+\dfrac {1}{4\mu }=\dfrac {1}{\lambda }+\dfrac {1}{4(1-\lambda )}$，这是一个关于$\lambda$的函数，其最小值在$\lambda =\dfrac {1}{4}$时取得，最小值为4。