工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7天，从第二天开始每一天都比前一天多生产200件。已知工厂第三周的产量是第一周的2倍，问第几天其日产量第一次达到1万件？A. 37B. 38C. 39D. 40

考查要点：本题主要考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及根据实际问题建立方程求解的能力。

解题核心思路：

1. 识别等差数列模型：每天产量构成公差为200的等差数列。
2. 计算周产量：分别用首项$a_1$表示第一周和第三周的总产量。
3. 建立方程：根据“第三周产量是第一周的2倍”建立方程，求出首项$a_1$。
4. 求解目标天数：利用通项公式，找到满足日产量≥10000件的最小天数。

破题关键点：

• 正确表示周产量：注意第一周和第三周的起始天数对应的项数。
• 准确建立方程：确保周产量的表达式正确代入条件。
• 验证临界值：确认所求天数是否为“第一次”达到目标值。

步骤1：设定变量与等差数列通项公式

设第一天产量为$a_1$，则第$n$天的产量为：
$a_n = a_1 + 200(n-1)$

步骤2：计算第一周和第三周的总产量

• 第一周（第1天到第7天）：
  $S_1 = \frac{7}{2} \left[2a_1 + 6 \times 200\right] = 7(a_1 + 600)$
• 第三周（第15天到第21天）：
  第15天的产量为$a_1 + 200 \times 14 = a_1 + 2800$，第21天的产量为$a_1 + 200 \times 20 = a_1 + 4000$，总产量为：
  $S_3 = \frac{7}{2} \left[(a_1 + 2800) + (a_1 + 4000)\right] = 7(a_1 + 3400)$

步骤3：根据条件建立方程

根据题意$S_3 = 2S_1$，代入得：
$7(a_1 + 3400) = 2 \times 7(a_1 + 600)$
化简得：
$a_1 + 3400 = 2a_1 + 1200 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 2200$

步骤4：求日产量首次达到1万件的天数

设第$n$天产量为10000件：
$2200 + 200(n-1) \geq 10000$
解得：
$200n + 2000 \geq 10000 \quad \Rightarrow \quad n \geq 40$
验证$n=40$时，产量为$200 \times 40 + 2000 = 10000$件，满足条件。