题目
8 [计算题，6分]随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D由x轴，y轴和x+y=1围成的区域.设Z=X+Y，求Z的密度函数.此处答题
8 [计算题，6分]
随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D由x轴，y轴和x+y=1围成的区域.设Z=X+Y，求Z的密度函数.
此处答题
题目解答
答案
随机向量 $(X, Y)$ 在区域 $D$（由 $x$ 轴、$y$ 轴和 $x + y = 1$ 围成）上服从均匀分布。区域 $D$ 的面积为 $\frac{1}{2}$，故联合密度函数为：
\[
f(x, y) = \begin{cases}
2 & (x, y) \in D \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
\]
设 $Z = X + Y$，则其分布函数 $F(z) = P(Z \leq z)$。
- 当 $z < 0$ 时，$F(z) = 0$；
- 当 $z > 1$ 时，$F(z) = 1$；
- 当 $0 \leq z \leq 1$ 时，积分区域为 $x + y \leq z$ 且 $(x, y) \in D$，形成直角三角形，面积为 $\frac{z^2}{2}$，故：
\[
F(z) = 2 \times \frac{z^2}{2} = z^2
\]
对 $F(z)$ 求导得密度函数：
\[
f(z) = \begin{cases}
2z & 0 \leq z \leq 1 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
\]
**答案：**
\[
\boxed{
f(z) = \begin{cases}
2z & 0 \leq z \leq 1 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查二维均匀分布下求和随机变量的密度函数，涉及分布函数法的应用，以及几何概率的计算。
解题核心思路：
- 确定联合密度函数：根据区域D的面积计算均匀分布的密度值。
- 分析Z的取值范围：结合X和Y的约束条件，确定Z的可能取值区间。
- 分段讨论分布函数：根据Z的不同取值范围，计算对应的概率，特别注意积分区域的几何形状。
- 求导得到密度函数：对分布函数分段求导，得到最终结果。
破题关键点：
- 区域D的几何形状：明确D是由x轴、y轴和x+y=1围成的直角三角形。
- 积分区域的划分：当0≤z≤1时，积分区域为D内满足x+y≤z的小三角形，面积计算是关键。
步骤1：确定联合密度函数
区域D的面积为$\frac{1}{2}$，因此联合密度函数为：
$f(x, y) = \begin{cases} 2 & (x, y) \in D \\0 & \text{其他}\end{cases}$
步骤2：分析Z的分布函数
设$Z = X + Y$，其分布函数为：
$F(z) = P(Z \leq z) = P(X + Y \leq z)$
分段讨论：
- 当$z < 0$时：无解，故$F(z) = 0$。
- 当$z > 1$时：$X + Y \leq z$覆盖整个区域D，故$F(z) = 1$。
- 当$0 \leq z \leq 1$时：积分区域为D内满足$x + y \leq z$的部分，形成顶点在$(0,0)$、$(z,0)$、$(0,z)$的直角三角形，面积为$\frac{z^2}{2}$。概率计算为：
$F(z) = \iint_{x+y \leq z} f(x,y) \, dx \, dy = 2 \cdot \frac{z^2}{2} = z^2$
步骤3：求导得到密度函数
对$F(z)$分段求导：
$f(z) = \begin{cases} \frac{d}{dz} F(z) = 2z & 0 \leq z \leq 1 \\0 & \text{其他}\end{cases}$