题目
21.设随机变量X的概率密度为 f(x)= ^2), 0lt xlt theta 0, . 其中 theta gt 0 为未知参数,X1,-|||-,-|||-X2,···,Xn是来自总体的样本,求:(1)θ的矩估计;(2)θ的极大似然估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解期望
首先，计算随机变量X的期望值E(X)。根据概率密度函数f(x)，我们有：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \int_{0}^{\theta} x^2 dx \]
\[ = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2}{\theta^2} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{2\theta}{3} \]
步骤 2：矩估计
根据矩估计法，令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望值E(X)，即：
\[ \overline{X} = \frac{2\theta}{3} \]
解得：
\[ \theta = \frac{3}{2} \overline{X} \]
因此，θ的矩估计量为 $\frac{3}{2} \overline{X}$。
步骤 3：极大似然估计
考虑似然函数L(θ)：
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{2x_i}{\theta^2} = \frac{2^n}{\theta^{2n}} \prod_{i=1}^{n} x_i \]
由于L(θ)是θ的单调递减函数，极大似然估计量为样本中最大值，即：
\[ \theta = \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \]
首先，计算随机变量X的期望值E(X)。根据概率密度函数f(x)，我们有：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \int_{0}^{\theta} x^2 dx \]
\[ = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2}{\theta^2} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{2\theta}{3} \]
步骤 2：矩估计
根据矩估计法，令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望值E(X)，即：
\[ \overline{X} = \frac{2\theta}{3} \]
解得：
\[ \theta = \frac{3}{2} \overline{X} \]
因此，θ的矩估计量为 $\frac{3}{2} \overline{X}$。
步骤 3：极大似然估计
考虑似然函数L(θ)：
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{2x_i}{\theta^2} = \frac{2^n}{\theta^{2n}} \prod_{i=1}^{n} x_i \]
由于L(θ)是θ的单调递减函数，极大似然估计量为样本中最大值，即：
\[ \theta = \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \]