题目
2.设某厂生产的灯泡的寿命X服从寿命为λ的指数分布，测得n个灯泡失效的时间为x_(1),x_(2),...,x_(n)，则λ的矩估计值为____.[填空1]
2.设某厂生产的灯泡的寿命X服从寿命为λ的指数分布，
测得n个灯泡失效的时间为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，则λ的矩估计值为____.
[填空1]
题目解答
答案
指数分布的期望值为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$。在矩估计法中，用样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ 估计总体均值，即令 $E(X) = \overline{X}$。解得 $\lambda = \frac{1}{\overline{X}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}$。
因此，$\lambda$ 的矩估计值为 $\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}}$ 或 $\boxed{\frac{1}{\overline{X}}}$。
解析
步骤 1：确定指数分布的期望值
指数分布的期望值为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，其中 $\lambda$ 是指数分布的参数。
步骤 2：应用矩估计法
矩估计法中，用样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ 估计总体均值，即令 $E(X) = \overline{X}$。因此，我们有 $\frac{1}{\lambda} = \overline{X}$。
步骤 3：求解λ的矩估计值
从 $\frac{1}{\lambda} = \overline{X}$ 可以解得 $\lambda = \frac{1}{\overline{X}}$。由于 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$，所以 $\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}$。
指数分布的期望值为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，其中 $\lambda$ 是指数分布的参数。
步骤 2：应用矩估计法
矩估计法中，用样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ 估计总体均值，即令 $E(X) = \overline{X}$。因此，我们有 $\frac{1}{\lambda} = \overline{X}$。
步骤 3：求解λ的矩估计值
从 $\frac{1}{\lambda} = \overline{X}$ 可以解得 $\lambda = \frac{1}{\overline{X}}$。由于 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$，所以 $\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}$。