设总体服从正态分布,()是来自总体的样本,求样本()的联合概率密度和样本均值的分布密度函数。

考查要点：本题主要考查正态分布样本的联合概率密度和样本均值的分布密度函数的推导方法。

解题核心思路：

1. 联合概率密度：由于样本独立同分布，联合密度是各变量概率密度的乘积。
2. 样本均值分布：利用正态分布的可加性，样本均值仍服从正态分布，均值与总体均值相同，方差缩小为总体方差的$\frac{1}{n}$。

破题关键点：

• 独立性：样本独立时，联合密度为各边缘密度的乘积。
• 正态分布性质：线性组合后的变量仍服从正态分布，可通过均值和方差直接推导。

1. 样本的联合概率密度

总体服从$N(\mu, \sigma^2)$，样本$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$独立同分布。
每个$X_i$的概率密度为：
$f(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
联合概率密度为各变量密度的乘积：
$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \left( \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \right)^n e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}$

2. 样本均值的分布密度函数

样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
由于$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，根据正态分布的性质：

• $\overline{X}$仍服从正态分布；
• 均值为$\mathbb{E}(\overline{X}) = \mu$；
• 方差为$\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。

因此，$\overline{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$，其概率密度函数为：
$f_{\overline{X}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot \frac{\sigma^2}{n}}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \cdot \frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\sqrt{n}}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{n(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$