题目
设总体 X sim N(mu, 4)，当样本容量 n=9 时，测得样本均值 overline(x)=5，则未知参数 mu 的置信度为 0.95 的置信区间为 ()A. (5-1.96 times (4)/(9), 5+1.96 times (4)/(9))B. (5-1.65 times (4)/(9), 5+1.65 times (4)/(9))C. (5-1.65 times (2)/(3), 5+1.65 times (2)/(3))D. (5-1.96 times (2)/(3), 5+1.96 times (2)/(3))
设总体 $X \sim N(\mu, 4)$，当样本容量 $n=9$ 时，测得样本均值 $\overline{x}=5$，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间为 ()
A. $(5-1.96 \times \frac{4}{9}, 5+1.96 \times \frac{4}{9})$
B. $(5-1.65 \times \frac{4}{9}, 5+1.65 \times \frac{4}{9})$
C. $(5-1.65 \times \frac{2}{3}, 5+1.65 \times \frac{2}{3})$
D. $(5-1.96 \times \frac{2}{3}, 5+1.96 \times \frac{2}{3})$
题目解答
答案
D. $(5-1.96 \times \frac{2}{3}, 5+1.96 \times \frac{2}{3})$
解析
步骤 1：确定总体分布和样本信息
总体 $X \sim N(\mu, 4)$，即总体均值为 $\mu$，方差为 $4$。样本容量 $n = 9$，样本均值 $\overline{x} = 5$。
步骤 2：确定置信度和分位数
置信度为 $0.95$，即 $\alpha = 0.05$。由于是双侧置信区间，所以需要查标准正态分布表找到 $u_{0.025}$，即 $1.96$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为：\[ \left( \overline{x} - u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
代入数值：\[ \left( 5 - 1.96 \times \frac{2}{3}, 5 + 1.96 \times \frac{2}{3} \right) \]
其中，$\sigma = \sqrt{4} = 2$，$n = 9$，$\overline{x} = 5$，$u_{0.025} = 1.96$。
总体 $X \sim N(\mu, 4)$，即总体均值为 $\mu$，方差为 $4$。样本容量 $n = 9$，样本均值 $\overline{x} = 5$。
步骤 2：确定置信度和分位数
置信度为 $0.95$，即 $\alpha = 0.05$。由于是双侧置信区间，所以需要查标准正态分布表找到 $u_{0.025}$，即 $1.96$。
步骤 3：计算置信区间
置信区间公式为：\[ \left( \overline{x} - u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
代入数值：\[ \left( 5 - 1.96 \times \frac{2}{3}, 5 + 1.96 \times \frac{2}{3} \right) \]
其中，$\sigma = \sqrt{4} = 2$，$n = 9$，$\overline{x} = 5$，$u_{0.025} = 1.96$。