题目
只要样本容量足够大,根据大数定律,样本均值一定等于总体均值。( )A. 对B. 错
只要样本容量足够大,根据大数定律,样本均值一定等于总体均值。( )
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
考查要点:本题主要考查对大数定律的理解,特别是其在统计推断中的实际意义。
解题核心:明确大数定律的结论是样本均值依概率收敛于总体均值,而非绝对相等。关键点在于区分“趋近于”与“一定等于”的差异。
破题关键:
- 大数定律的本质:随着样本容量增大,样本均值接近总体均值的概率增大,但无法保证有限样本下“一定相等”。
- “依概率收敛”的含义:结果具有概率性质,而非确定性结论。
大数定律的数学表述为:
若随机变量 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布,且存在有限方差,则对任意 $\varepsilon > 0$,有
$\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - E(X) \right| \geq \varepsilon \right) = 0.$
这表明:
- 概率趋近:当 $n$ 足够大时,样本均值落在总体均值附近的概率很高,但无法保证“一定等于”。
- 有限样本限制:即使 $n$ 很大,仍存在极小概率导致样本均值与总体均值不相等。
题目错误点:
题目中“一定等于”的表述忽略了概率性质,将渐进行为绝对化,因此答案为错。