用等值演算法证明下列等值式：-(p↔q)⇔(p∨q)∧-(p∧q)

本题考查命题逻辑中的等值演算法，解题的关键在于利用已知的等值式对等式两边进行逐步化简，最终证明两边化简结果相同。

证明$\neg (p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \lor q) \land \neg (p \land q)$

1. 化简$\neg (p \leftrightarrow q)$：

   • 根据等值式$p \leftrightarrow q \equiv (p \to q) \land (q \to p)$，将$\neg (p \leftrightarrow q)$进行替换，可得$\neg (p \leftrightarrow q) \equiv \neg [(p \to q) \land (q \to p)]$。
   • 再根据蕴含等值式$p \to q \equiv \neg p \lor q$，进一步将$(p \to q) \land (q \to p)$替换为$(\neg p \lor q) \land (\neg q \lor p)$，则$\neg [(p \to q) \land (q \to p)] \equiv \neg [(\neg p \lor q) \land (\neg q \lor p)]$。
   • 利用德摩根律$\neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$，可得$\neg [(\neg p \lor q) \land (\neg q \lor p)] \equiv \neg (\neg p \lor q) \lor \neg (\neg q \lor p)$。
   • 再次使用德摩根律$\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$，得到$\neg (\neg p \lor q) \lor \neg (\neg q \lor p) \equiv (p \land \neg q) \lor (q \land \neg p)$。

2. 化简$(p \lor q) \land \neg (p \land q)$：

   • 根据德摩根律$\neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$，将$\neg (p \land q)$替换为$\neg p \lor \neg q$，则$(p \lor q) \land \neg (p \land q) \equiv (p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q)$。
   • 利用分配律$(A \lor B) \land (C \lor D) \equiv (A \land C) \lor (A \land D) \lor (B \land C) \lor (B \land D)$，可得$(p \lor q) \land (\neg p \lor \neg q) \equiv (p \land \neg p) \lor (p \land \neg q) \lor (q \land \neg p) \lor (q \land \neg q)$。
   • 由于$p \land \neg p \equiv F$（矛盾律），$q \land \neg q \equiv F$（矛盾律），在逻辑运算中$F$与任何命题进行或运算都不影响结果，所以可省略$p \land \neg p$和$q \land \neg q$，得到$(p \land \neg p) \lor (p \land \neg q) \lor (q \land \neg p) \lor (q \land \neg q) \equiv (p \land \neg q) \lor (q \land \neg p)$。

3. 得出结论：
   因为$\neg (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land \neg q) \lor (q \land \neg p)$，$(p \lor q) \land \neg (p \land q) \equiv (p \land \neg q) \lor (q \land \neg p)$，所以$\neg (p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \lor q) \land \neg (p \land q)$，等值式成立。