题目

12.设总体X服从指数分布，且概率密度函数为f(x)=}lambda e^-lambda x,&x>0,0,&其他,.

12.设总体X服从指数分布，且概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x>0,\\0,&其他,\end{cases}$其中λ>0，$X_{1}$，$X_{2}$，…，$X_{n}$是来自总体X的样本.求$E(\overline{X})$，$D(\overline{X})$，$ES^{2}$.

题目解答

答案

设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其期望和方差分别为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ 和 $D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。 设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。 1. **求 $E(\overline{X})$：** $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}$。 2. **求 $D(\overline{X})$：** $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{n \lambda^2}$。 3. **求 $ES^2$：** 样本方差 $S^2$ 的期望等于总体方差，即 $ES^2 = D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。 **答案：** $$ \boxed{\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{n \lambda^2}, \frac{1}{\lambda^2}} $$ 或者等价地： $$ \boxed{\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{n \lambda^2}, \frac{n-1}{n \lambda^2}} $$

解析

本题主要考察指数分布的性质以及样本均值和样本方差的期望与方差计算，具体思路如下：

1. 求$E(\overline{X})$

样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，根据期望的线性性质：
$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)$
总体$X$服从指数分布，其期望$E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$（指数分布的期望公式），故：
$E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}$

2. 求$D(\overline{X})$

样本均值的方差计算：
$D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n D(X_i)$
指数分布的方差$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$，且样本独立，故：
$D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{n\lambda^2}$

3. 求$ES^2$

样本方差$S^2$的定义通常为$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其期望性质为$ES^2 = D(X)$（样本方差是总体方差的无偏估计）：
$ES^2 = D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
若题目中$S^2$定义为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，则$ES^2 = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{\lambda^2}$，但通常默认无偏样本方差，故标准答案为$\frac{1}{\lambda^2}$。