题目
1.设总体概率函数如下,x1,···,xn是样本,试求未知参数的最大似然估计.-|||-(1) (x;theta )=sqrt (theta )(x)^sqrt (theta -1) lt xlt 1 ,θ>0;-|||-(2) (x;theta )=theta (c)^theta (x)^-(theta +1) gt c gt 0 已知, theta gt 1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造似然函数
对于给定的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数 $L(\theta)$ 是概率函数 $P(x;\theta)$ 在所有样本点上的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i; \theta)
$$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$，即
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln P(x_i; \theta)
$$
步骤 3：求导并解似然方程
对对数似然函数 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0，得到似然方程。解这个方程，得到 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$。
步骤 4：验证最大似然估计
通过二阶导数验证 $\hat{\theta}$ 是否为 $\theta$ 的最大似然估计。
对于给定的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数 $L(\theta)$ 是概率函数 $P(x;\theta)$ 在所有样本点上的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i; \theta)
$$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$，即
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln P(x_i; \theta)
$$
步骤 3：求导并解似然方程
对对数似然函数 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0，得到似然方程。解这个方程，得到 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$。
步骤 4：验证最大似然估计
通过二阶导数验证 $\hat{\theta}$ 是否为 $\theta$ 的最大似然估计。