题目
26. (3.0分) 设随机变量X服从指数分布E(0.2)，(X_(1),X_(2),...,X_(5))为来自总体的样本，则E(bar(X))=____；D(bar(X))=____；E(S^2)=____.(其中bar(X)=(1)/(5)sum_(i=1)^5X_(i)，S^2=(1)/(4)sum_(i=1)^5(X_(i)-bar(X))^2)第1空请输入答案第2空请输入答案
26. (3.0分) 设随机变量X服从指数分布E(0.2)，$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{5})$为来自总体的样本，则$E(\bar{X})=$____；$D(\bar{X})=$____；$E(S^{2})=$____.(其中$\bar{X}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}X_{i}$，$S^{2}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{5}(X_{i}-\bar{X})^{2}$)
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题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用指数分布的性质以及样本均值和样本方差的性质。让我们一步步来分析。
1. **指数分布的期望值和方差：**
随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $E(\lambda)$。指数分布的期望值 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为：
\[
E(X) = \frac{1}{\lambda} \quad \text{和} \quad D(X) = \frac{1}{\lambda^2}
\]
在这个问题中，$\lambda = 0.2$。因此，我们有：
\[
E(X) = \frac{1}{0.2} = 5 \quad \text{和} \quad D(X) = \frac{1}{(0.2)^2} = 25
\]
2. **样本均值的期望值和方差：**
样本均值 $\bar{X}$ 定义为：
\[
\bar{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} X_i
\]
样本均值的期望值 $E(\bar{X})$ 等于总体的期望值：
\[
E(\bar{X}) = E(X) = 5
\]
样本均值的方差 $D(\bar{X})$ 由下式给出：
\[
D(\bar{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{25}{5} = 5
\]
其中 $n = 5$ 是样本大小。
3. **样本方差的期望值：**
样本方差 $S^2$ 定义为：
\[
S^2 = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{5} (X_i - \bar{X})^2
\]
样本方差的期望值 $E(S^2)$ 等于总体的方差：
\[
E(S^2) = D(X) = 25
\]
这是因为对于大小为 $n$ 的样本，样本方差 $S^2$（其中分母为 $n-1$）是总体方差的无偏估计量。
因此，答案是：
\[
\boxed{5, 5, 25}
\]
解析
步骤 1：计算指数分布的期望值和方差
随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $E(\lambda)$。指数分布的期望值 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为：
\[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \quad \text{和} \quad D(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]
在本题中，$\lambda = 0.2$。因此，我们有：
\[ E(X) = \frac{1}{0.2} = 5 \quad \text{和} \quad D(X) = \frac{1}{(0.2)^2} = 25 \]
步骤 2：计算样本均值的期望值和方差
样本均值 $\bar{X}$ 定义为：
\[ \bar{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} X_i \]
样本均值的期望值 $E(\bar{X})$ 等于总体的期望值：
\[ E(\bar{X}) = E(X) = 5 \]
样本均值的方差 $D(\bar{X})$ 由下式给出：
\[ D(\bar{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{25}{5} = 5 \]
其中 $n = 5$ 是样本大小。
步骤 3：计算样本方差的期望值
样本方差 $S^2$ 定义为：
\[ S^2 = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{5} (X_i - \bar{X})^2 \]
样本方差的期望值 $E(S^2)$ 等于总体的方差：
\[ E(S^2) = D(X) = 25 \]
这是因为对于大小为 $n$ 的样本，样本方差 $S^2$（其中分母为 $n-1$）是总体方差的无偏估计量。
随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $E(\lambda)$。指数分布的期望值 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为：
\[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \quad \text{和} \quad D(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]
在本题中，$\lambda = 0.2$。因此，我们有：
\[ E(X) = \frac{1}{0.2} = 5 \quad \text{和} \quad D(X) = \frac{1}{(0.2)^2} = 25 \]
步骤 2：计算样本均值的期望值和方差
样本均值 $\bar{X}$ 定义为：
\[ \bar{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} X_i \]
样本均值的期望值 $E(\bar{X})$ 等于总体的期望值：
\[ E(\bar{X}) = E(X) = 5 \]
样本均值的方差 $D(\bar{X})$ 由下式给出：
\[ D(\bar{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{25}{5} = 5 \]
其中 $n = 5$ 是样本大小。
步骤 3：计算样本方差的期望值
样本方差 $S^2$ 定义为：
\[ S^2 = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{5} (X_i - \bar{X})^2 \]
样本方差的期望值 $E(S^2)$ 等于总体的方差：
\[ E(S^2) = D(X) = 25 \]
这是因为对于大小为 $n$ 的样本，样本方差 $S^2$（其中分母为 $n-1$）是总体方差的无偏估计量。