题目
四、设甲、乙两个工厂生产的蓄电池的电容量为X和Y，分别服从正态分布N(mu_(1),sigma^2)，N(mu_(2),sigma^2)，且sigma^2未知，分别独立的从两个总体中抽取容量为n_(1)=8，n_(2)=10的样本，经计算得样本均值分别为overline(X)=141，overline(Y)=140，样本方差分别为S_(1)^2=6.6，S_(2)^2=4.8，试求总体均值差mu_(1)-mu_(2)的置信度为90%的置信区间.解：
四、设甲、乙两个工厂生产的蓄电池的电容量为X和Y，分别服从正态分布$N(\mu_{1},\sigma^{2})$，$N(\mu_{2},\sigma^{2})$，且$\sigma^{2}$未知，分别独立的从两个总体中抽取容量为$n_{1}=8$，$n_{2}=10$的样本，经计算得样本均值分别为$\overline{X}=141$，$\overline{Y}=140$，样本方差分别为$S_{1}^{2}=6.6$，$S_{2}^{2}=4.8$，试求总体均值差$\mu_{1}-\mu_{2}$的置信度为90%的置信区间.
解：
题目解答
答案
1. **计算合并方差**：
\[
S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{7 \times 6.6 + 9 \times 4.8}{16} = 5.5875
\]
\[
S_w = \sqrt{5.5875} \approx 2.3638
\]
2. **确定自由度和 t 值**：
自由度 $df = n_1 + n_2 - 2 = 16$，
$t_{0.05}(16) \approx 1.7459$。
3. **计算置信区间半径**：
\[
t_{0.05}(16) \cdot S_w \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \approx 1.7459 \cdot 2.3638 \cdot \sqrt{\frac{9}{40}} \approx 1.8906
\]
4. **构建置信区间**：
\[
(\overline{X} - \overline{Y} \pm 1.8906) = (1 \pm 1.8906) = (-0.8906, 2.8906)
\]
**答案**：
\[
\boxed{(-0.8906, 2.8906)}
\]
解析
步骤 1：计算合并方差
合并方差$S_w^2$是两个样本方差的加权平均，权重为各自样本容量减一。计算公式为：
\[ S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \]
代入给定的数值：
\[ S_w^2 = \frac{(8 - 1) \times 6.6 + (10 - 1) \times 4.8}{8 + 10 - 2} = \frac{7 \times 6.6 + 9 \times 4.8}{16} = \frac{46.2 + 43.2}{16} = \frac{89.4}{16} = 5.5875 \]
步骤 2：确定自由度和 t 值
自由度$df = n_1 + n_2 - 2 = 8 + 10 - 2 = 16$。对于置信度为90%的双侧检验，查t分布表得到$t_{0.05}(16) \approx 1.7459$。
步骤 3：计算置信区间半径
置信区间半径由t值、合并方差的平方根以及样本容量的倒数和的平方根决定。计算公式为：
\[ t_{0.05}(16) \cdot S_w \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \]
代入数值：
\[ 1.7459 \cdot \sqrt{5.5875} \cdot \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{10}} \approx 1.7459 \cdot 2.3638 \cdot \sqrt{\frac{9}{40}} \approx 1.7459 \cdot 2.3638 \cdot 0.4743 \approx 1.8906 \]
步骤 4：构建置信区间
总体均值差$\mu_{1}-\mu_{2}$的置信区间为样本均值差$\overline{X} - \overline{Y}$加上或减去置信区间半径。计算公式为：
\[ (\overline{X} - \overline{Y} \pm 1.8906) \]
代入数值：
\[ (141 - 140 \pm 1.8906) = (1 \pm 1.8906) = (-0.8906, 2.8906) \]
合并方差$S_w^2$是两个样本方差的加权平均，权重为各自样本容量减一。计算公式为：
\[ S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \]
代入给定的数值：
\[ S_w^2 = \frac{(8 - 1) \times 6.6 + (10 - 1) \times 4.8}{8 + 10 - 2} = \frac{7 \times 6.6 + 9 \times 4.8}{16} = \frac{46.2 + 43.2}{16} = \frac{89.4}{16} = 5.5875 \]
步骤 2：确定自由度和 t 值
自由度$df = n_1 + n_2 - 2 = 8 + 10 - 2 = 16$。对于置信度为90%的双侧检验，查t分布表得到$t_{0.05}(16) \approx 1.7459$。
步骤 3：计算置信区间半径
置信区间半径由t值、合并方差的平方根以及样本容量的倒数和的平方根决定。计算公式为：
\[ t_{0.05}(16) \cdot S_w \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \]
代入数值：
\[ 1.7459 \cdot \sqrt{5.5875} \cdot \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{10}} \approx 1.7459 \cdot 2.3638 \cdot \sqrt{\frac{9}{40}} \approx 1.7459 \cdot 2.3638 \cdot 0.4743 \approx 1.8906 \]
步骤 4：构建置信区间
总体均值差$\mu_{1}-\mu_{2}$的置信区间为样本均值差$\overline{X} - \overline{Y}$加上或减去置信区间半径。计算公式为：
\[ (\overline{X} - \overline{Y} \pm 1.8906) \]
代入数值：
\[ (141 - 140 \pm 1.8906) = (1 \pm 1.8906) = (-0.8906, 2.8906) \]