题目
随机抽取某市12名男孩，测得其体重均值为3.2公斤，标准差为0.5公斤，则总体均数95%可信区间的公式是 A. 3.2pm t_(0.05/2),11times0.5 B. 3.2pm t_(0.05/2),12times0.5 C. 3.2pm t_(0.05/2,11)times0.5/sqrt(12) D. 3.2pm1.96times0.5/sqrt(12)
随机抽取某市12名男孩，测得其体重均值为3.2公斤，标准差为0.5公斤，则总体均数95%可信区间的公式是
A. 3.2$\pm t_{0.05/2},11\times0.5$
B. 3.2$\pm t_{0.05/2},12\times0.5$
C. 3.2$\pm t_{0.05/2,11}\times0.5/\sqrt{12}$
D. 3.2$\pm1.96\times0.5/\sqrt{12}$
A. 3.2$\pm t_{0.05/2},11\times0.5$
B. 3.2$\pm t_{0.05/2},12\times0.5$
C. 3.2$\pm t_{0.05/2,11}\times0.5/\sqrt{12}$
D. 3.2$\pm1.96\times0.5/\sqrt{12}$
题目解答
答案
根据题目，样本量 $n = 12$，样本均值 $\bar{x} = 3.2$ 公斤，样本标准差 $s = 0.5$ 公斤。总体均数的95%可信区间公式为：
\[
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \nu} \times \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
其中，$\alpha = 0.05$，自由度 $\nu = n - 1 = 11$。代入数据得：
\[
3.2 \pm t_{0.025, 11} \times \frac{0.5}{\sqrt{12}}
\]
选项分析：
- A：未除以 $\sqrt{12}$，错误。
- B：自由度为 12，错误。
- C：符合公式，正确。
- D：使用正态分布临界值 1.96，不适用于小样本，错误。
**答案：** $\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查小样本均值的可信区间计算，涉及t分布的应用和标准误的计算。
解题核心思路：
- 判断分布类型：样本量$n=12$属于小样本，且总体方差未知，因此应使用t分布而非正态分布。
- 确定公式结构：可信区间公式为$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \nu} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$\frac{s}{\sqrt{n}}$是标准误。
- 验证选项细节：检查自由度$\nu = n-1$、是否包含标准误、临界值是否合理。
破题关键点：
- 自由度：$\nu = n-1 = 11$，排除自由度错误的选项。
- 标准误：必须包含$\frac{s}{\sqrt{n}}$，排除未除以$\sqrt{n}$的选项。
- 临界值：小样本用$t$值，排除使用$Z=1.96$的选项。
公式推导
总体均值的95%可信区间公式为：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \nu} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：
- $\bar{x} = 3.2$（样本均值）
- $s = 0.5$（样本标准差）
- $n = 12$（样本量）
- $\alpha = 0.05$（显著性水平），对应$t_{\alpha/2, \nu} = t_{0.025, 11}$
- $\nu = n-1 = 11$（自由度）
选项分析
- A：未包含$\frac{1}{\sqrt{n}}$，错误。
- B：自由度$\nu = 12$错误，正确应为$11$，错误。
- C：公式完整，自由度和标准误均正确，正确。
- D：使用$Z=1.96$，适用于大样本，错误。