单选题（共40题，80.0分）1.（2.0分）下列各题中，f(x)和g(x)是同一函数的是（）A f(x)=x, g(x)= sqrt(x^2)B f(x)=ln x², g(x)=2ln xC f(x)= sqrt[3](x^4-x^3),g(x)=x cdot sqrt[3](x-1)D f(x)= (x^2-9)/(x+3),g(x)=x-3

本题考查同一函数的判断，判断两个函数是否为同一函数，需要从函数的定义域和对应法则两方面进行考虑，若两个函数的定义域和对应法则都相同，则这两个函数为同一函数。

• 选项A：
  • 对于$f(x)=x$，其定义域为$\mathbb{R}$。
  • 对于$g(x)=\sqrt{x^{2}}$，根据根式的性质$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，可得$g(x)=\sqrt{x^{2}} = \vert x\vert=\begin{cases}x, & x\geq0 \\ -x, & x\lt0\end{cases}$，其定义域也为$\mathbb{R}$。
  • 虽然$f(x)$与$g(x)$定义域相同，但对应法则不同，$f(x)=x$，$g(x)=\vert x\vert$，所以$f(x)$和$g(x)$不是同一函数。
• 选项B：
  • 对于$f(x)=\ln x^{2}$，要使对数有意义，则$x^{2}\gt0$，解得$x\neq0$，即$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq0\}$。
  • 对于$g(x)=2\ln x$，要使对数有意义，则$x\gt0$，即$g(x)$的定义域为$\{x\mid x\gt0\}$。
  • 由于$f(x)$与$g(x)$定义域不同，所以$f(x)$和$g(x)$不是同一函数。
• 选项C：
  • 对于$f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}$，因为立方根下的数可以是任意实数，所以$x^{4}-x^{3}$可以取任意实数，即$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$。
  • 对$f(x)$进行化简，$f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}=\sqrt[3]{x^{3}(x - 1)}$，根据立方根的性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}$（$a,b\in R$），可得$f(x)=\sqrt[3]{x^{3}(x - 1)}=x\sqrt[3]{x - 1}$。
  • 对于$g(x)=x\cdot\sqrt[3]{x - 1}$，同样因为立方根下的数可以是任意实数，所以$g(x)$的定义域也为$\mathbb{R}$。
  • $f(x)$与$g(x)$定义域相同，对应法则也相同，所以$f(x)$和$g(x)$是同一函数。
• 选项D：
  • 对于$f(x)=\frac{x^{2}-9}{x + 3}$，要使分式有意义，则分母$x + 3\neq0$，解得$x\neq - 3$，即$f(x)$的定义域为$\{x\mid x\neq - 3\}$。
  • 对$f(x)$进行化简，$f(x)=\frac{x^{2}-9}{x + 3}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3}=x - 3$（$x\neq - 3$）。
  • 对于$g(x)=x - 3$，其定义域为$\mathbb{R}$。
  • 由于$f(x)$与$g(x)$定义域不同，所以$f(x)$和$g(x)$不是同一函数。