2.(多选题，5分)函数f(z)=|z|^2在点z=0处（）A.不可导<br>B.可导C.不解析D.解析

考查要点：本题主要考查复变函数在某一点的可导性和解析性的判断，需要掌握复变函数导数的定义及解析的条件。

解题核心思路：

1. 可导性：直接利用导数定义计算极限，通过变量替换（极坐标形式）分析极限是否存在。
2. 解析性：解析要求函数在某点的邻域内每一点都可导，需验证函数在非零点处是否可导。

破题关键点：

• 可导性的关键在于极限是否与趋近方向无关，通过极坐标形式发现极限为0，说明可导。
• 解析性的关键在于非零点处导数不存在，导致函数在$z=0$处无法满足解析条件。

可导性分析

根据导数定义，计算$z=0$处的导数：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^2}{h}.$
令$h = re^{i\theta}$，则：
$\frac{|h|^2}{h} = \frac{r^2}{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}.$
当$r \to 0$时，无论$\theta$如何变化，极限值均为$0$，因此$f'(0) = 0$，函数在$z=0$处可导。

解析性分析

函数在$z=0$处解析，需在$z=0$的某个邻域内每一点都可导。取$z=a \neq 0$，计算导数：
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|a+h|^2 - |a|^2}{h}.$
展开得：
$\frac{(a+h)(\overline{a} + \overline{h}) - |a|^2}{h} = \frac{a\overline{h} + \overline{a}h + |h|^2}{h}.$
令$h = re^{i\theta}$，则$\frac{\overline{h}}{h} = e^{-2i\theta}$，表达式变为：
$a e^{-2i\theta} + \overline{a} + r e^{-i\theta}.$
当$r \to 0$时，第二项和第三项趋于$0$，但第一项$a e^{-2i\theta}$的值依赖于$\theta$，即极限与趋近方向有关，因此导数不存在。故函数在$z=0$处不解析。