在总体N(52,6.3^2 )中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X落在-|||-50.8到53.8之间的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的分布性质及标准化转换方法，需要掌握中心极限定理的应用以及标准正态分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为总体均值，方差为总体方差除以样本容量。
2. 标准化转换：将样本均值的区间转化为标准正态分布变量$Z$的区间，利用标准正态分布表计算概率。

破题关键点：

• 正确计算样本均值的方差和标准差：$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，其中$\sigma=6.3$，$n=36$。
• 准确进行标准化计算：对区间端点分别进行$Z$值转换，注意符号和计算精度。

步骤1：确定样本均值的分布

总体$X \sim N(52, 6.3^2)$，样本容量$n=36$，则样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(52, \frac{6.3^2}{36}\right) = N(52, 1.05^2)$

步骤2：标准化区间端点

将区间$50.8 < \overline{X} < 53.8$转化为标准正态分布变量$Z$：

• 下限$50.8$对应的$Z$值：
  $Z_1 = \frac{50.8 - 52}{1.05} = \frac{-1.2}{1.05} \approx -1.14$
• 上限$53.8$对应的$Z$值：
  $Z_2 = \frac{53.8 - 52}{1.05} = \frac{1.8}{1.05} \approx 1.71$

步骤3：计算概率

利用标准正态分布表：

• $\Phi(1.71) \approx 0.9564$（$Z=1.71$左侧概率）
• $\Phi(-1.14) = 1 - \Phi(1.14) \approx 1 - 0.8729 = 0.1271$（$Z=-1.14$左侧概率）

所求概率为：
$P(50.8 < \overline{X} < 53.8) = \Phi(1.71) - \Phi(-1.14) = 0.9564 - 0.1271 = 0.8293$