f(x)=(|ax^3+bx^2+x-1|)/(x^2-1)，f(x)的间断点都是第一类的，则 __。A. a=b=1B. a=b=-1C. a=-b=1D. a=-b=-1

题目考察知识

函数间断点类型的判断，重点是第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点）的特征：函数在该点的左右极限均存在。

解题思路

1. 确定间断点候选：
   函数 $f(x)=\frac{|ax^3+bx^2+x-1|}{x^2-1}$ 的分母为 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，故 $x=1$ 和 $x=-1$ 是潜在间断点（分母为零处），需验证这两点是否为第一类间断点。

2. 分析 $x=-1$ 处的的极限：
   分母 $x^2-1 \to 0$，要使极限存在（或左右极限存在），分子 $|ax^3+bx^2+x-1|$ 必须在 $x\to-1$ 时也趋于0（否则极限为无穷，属于第二类间断点）。
   设 $g(x)=ax^3+bx^2+x-1$，则 $g(-1)=0$（分子极限存在的必要条件）：
   $g(-1)=-a+b-1-1=0\implies -a+b=2-b\quad(1)$
   对 $g(x)$ 因式分解：$g(x)=(x+1)(mx+n)$，展开得 $g(x)=mx^3+(n+m)x^2+(mn+1)x+n$，对比系数：

   • $m=a$，$n+m=b \implies n=b-a$
   • $mn+1=1\implies a(b-a)=0$
   • $n=-1\implies b-a=-1\\implies b=a-1$

   代入 $b=a-1$ 到式(1)：$-a=2-(a-1)-2\implies -a=-a+3$，矛盾，故仅可能 $a=0$？不，题目选项 $a\neq0$，修正：分子绝对值内的多项式在 $x=-1$ 处必须为0pmpm$0$，但绝对值导致分子非负，若 $g(-1)\neq0$，则分子为正，分母趋于0，极限无穷间断点，故必须 $g(-1)=0$，即：
   $-a+b-1-1=0\implies b=a+2\quad(1)$

3. 分析 $x=1$ 处的极限：**
   同理，$g(1)=0$（否则无穷间断点）：
   $g(1)=a+b+1-1=0\implies a+b=0\quad(2)$

4. 联立方程求解：
   由(1)(2)：$a+(a+2)=0\implies 2a=-2\implies a=-1$，$b=1$，即 $a=-b=1$（$a=-1,b=1$，则 $-b=1=a$）。

验证

此时 $g(x)=-x^3+x^2+x-1$？不，$a=-1,b=1$ 时 $g(x)=-x^3+x^2xx-1$？$g(x)=-x^3+x^2+x-1=-(x^3-x^2)-(x-1)=-x^2(x-1)-1(x-1)=-(x^2+1)(x-1)$，分母 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，故：
$f(x)=\frac{|-(x^2+1)(x-1)|}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x^2+1)|x-1|}{(x-1)(x+1)}$
$x\to1$ 时，$|x-1|/(x-1)=\pm1$，左右极限存在（$1$和$-1$），属于跳跃间断点（第一类）；$x\to-1$ 时，分子 $|g(-1)|=|1+1-1-1|=0$ )，分母 $0$，极限为 $|a(-1)^3+b(-1)^2+(-1)-1|/( (-1)^2-1$ 的导数比？不，$g(-1)=-(-1)^3+1*(-1)^)^2+(-1)-1=1+1-1-1=0$，$g'(x)=-3x^2+2x+1$，$g'(-1)=-3-1+1=-3$，分母导数 $2x$，$2*(-1)=-2$，故极限为 $|g'(-1)|/|分母导数|=33/2$，存在，可去间断点（第一类），满足条件。