题目
8.填空题设总体X与Y相互独立，且都服从正态分布N(0,1).(X_(1),...,X_(9))是从总体X中抽取的一个样本，(Y_(1),...,Y_(9))是从总体Y中抽取的一个样本，则统计量U=(X_(1)+...+X_(9))/(sqrt(Y_(1)^2)+... Y_{9^2)}服从____分布，参数为____.
8.填空题
设总体X与Y相互独立，且都服从正态分布N(0,1).$(X_{1},\cdots,X_{9})$是从总体X中抽取的一个样本，$(Y_{1},\cdots,Y_{9})$是从总体Y中抽取的一个样本，则统计量
$U=\frac{X_{1}+\cdots+X_{9}}{\sqrt{Y_{1}^{2}+\cdots Y_{9}^{2}}}$
服从____分布，参数为____.
题目解答
答案
分子 $ X_1 + \cdots + X_9 $ 服从 $ N(0,9) $，标准化后得 $ \frac{X_1 + \cdots + X_9}{3} \sim N(0,1) $。
分母 $ Y_1^2 + \cdots + Y_9^2 $ 服从 $ \chi^2(9) $。
统计量 $ U = \frac{\frac{X_1 + \cdots + X_9}{3}}{\sqrt{\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_9^2}{9}}} $ 符合 $ t $-分布定义，自由度为9。
答案：$\boxed{t(9)}$
解析
步骤 1：分子的分布
分子 $ X_1 + \cdots + X_9 $ 是从正态分布 $ N(0,1) $ 中抽取的9个样本的和。根据正态分布的性质，其和服从 $ N(0,9) $。
步骤 2：标准化分子
将分子标准化，即 $ \frac{X_1 + \cdots + X_9}{3} $，其中3是 $ \sqrt{9} $，标准化后的分子服从 $ N(0,1) $。
步骤 3：分母的分布
分母 $ Y_1^2 + \cdots + Y_9^2 $ 是从正态分布 $ N(0,1) $ 中抽取的9个样本的平方和。根据卡方分布的性质，其平方和服从 $ \chi^2(9) $。
步骤 4：统计量的分布
统计量 $ U = \frac{\frac{X_1 + \cdots + X_9}{3}}{\sqrt{\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_9^2}{9}}} $ 符合 $ t $-分布定义，自由度为9。
分子 $ X_1 + \cdots + X_9 $ 是从正态分布 $ N(0,1) $ 中抽取的9个样本的和。根据正态分布的性质，其和服从 $ N(0,9) $。
步骤 2：标准化分子
将分子标准化，即 $ \frac{X_1 + \cdots + X_9}{3} $，其中3是 $ \sqrt{9} $，标准化后的分子服从 $ N(0,1) $。
步骤 3：分母的分布
分母 $ Y_1^2 + \cdots + Y_9^2 $ 是从正态分布 $ N(0,1) $ 中抽取的9个样本的平方和。根据卡方分布的性质，其平方和服从 $ \chi^2(9) $。
步骤 4：统计量的分布
统计量 $ U = \frac{\frac{X_1 + \cdots + X_9}{3}}{\sqrt{\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_9^2}{9}}} $ 符合 $ t $-分布定义，自由度为9。