2.一种遗传病的隔代发病率为10%,在得病家庭中选取 500户进行研究,试用切比雪夫不等式-|||-估计这500户中隔代发病的比例与发病率之差的绝对值小于5%的概率下界.

本题考查切比雪夫不等式的应用，核心是通过构造随机变量、计算期望与方差，再利用切比雪夫不等式估计概率下界。

步骤1：构造随机变量变量

设随机变量$X\xi$表示500户中隔代发病的家庭数，则$\xi$服从二项分布$\xi\sim B(n,p)$，其中：

• 样本量$n=500$（500户家庭）
• 发病率$p=0.1$（隔代发病率10%）

步骤2：计算$\xi$的期望与方差

二项分布的期望和方差公式为：

• 期望$E(\xi)=np$
• 方差\(ξ)=np(1-p) 代入$n=500$，$p=0.1$：
• $E(\xi)=500\times0.1=50$
  $D(\xi)=500\times0.1\times0.9=45$

步骤3：转化“比例差的绝对值小于5%”为$\xi$的范围

设$\hat{p}=\frac{\xi}{n}$表示样本中发病的比例，则“比例与发病率之差的绝对值小于5%”等价于：
$\left|\hat{p}-p\right|<0.05$
代入$\hat{p}=\frac{\xi}{n}$和$p=0.1$，化简得：
$\left|\frac{\xi}{500}-0.1}\right|<0.05\quad\Rightarrow\quad|\xi-50|<500\times0.05=250$
即$\xi$落在区间$(50-25,50+25)=(22250)$内，等价于$|\xi-E(\xi)|<25$（$E(\xi)=50$）。

步骤4：应用切比雪夫不等式

切比雪夫不等式：对任意$\varepsilon>0$，有：
$P\left(|\xi-E(\xi)|\geq\varepsilon\right)\leq\frac{D(\xi)}{\varepsilon^2} \quad\Rightarrow\quad P\left(|\xi-E(\xi)|<\varepsilon\right)\geq1-\frac{D(\xi)}{\varepsilon^2}$

本题中$\varepsilon=25$，$D(\xi)=45$，代入得：
$\[ P\left(|\xi-50|<25\right)\geq1-\frac{45}{25^2}=1-\frac{45}{625}=1-0.072=0.928$