题目

2.(单选题，3.3分)设A，B是随机事件，且P(A)=P(B)=0.5，P(AUB)=1，则必有()A AUB=ΩB P(A-B)=0C AB=ΦD P(overline(A)∪overline(B))=1

2.(单选题，3.3分) 设A，B是随机事件，且P(A)=P(B)=0.5，P(AUB)=1，则必有() A AUB=Ω B P(A-B)=0 C AB=Φ D P($\overline{A}$∪$\overline{B}$)=1

题目解答

答案

由题意，$ P(A) = P(B) = 0.5 $，$ P(A \cup B) = 1 $。根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \implies 1 = 0.5 + 0.5 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0$
选项分析：

  • A： $ A \cup B = \Omega $
    $ P(A \cup B) = 1 $ 表示 $ A \cup B $ 概率满，但不一定等于样本空间 $ \Omega $（可能包含概率为0的事件），故不必然成立。
  • B： $ P(A - B) = 0 $
    $ P(A - B) = P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 $，故不成立。
  • C： $ AB = \emptyset $
    $ P(A \cap B) = 0 $ 表示 $ A $ 和 $ B $ 互斥，但交集可能非空（如连续分布中单点概率为0），故不必然成立。
  • D： $ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 $
    由德摩根定律，$ \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} $，且 $ P(A \cap B) = 0 $，故 $ P(\overline{A \cap B}) = 1 $，必然成立。

答案： $\boxed{D}$

解析

本题主要考查随机事件的概率运算、概率加法公式、德摩根定律以及事件之间的关系。解题的关键在于利用已知条件，通过概率加法公式求出$P(A\cap B)$，再依据各选项所涉及的知识点逐一进行分析判断。

  1. 根据概率加法公式求出$P(A\cap B)$：
    已知$P(A)=P(B)=0.5$，$P(A\cup B)=1$，根据概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，将已知值代入可得：
    $1 = 0.5 + 0.5 - P(A\cap B)$
    移项可得：
    $P(A\cap B)=0.5 + 0.5 - 1=0$
  2. 对各选项进行分析：
    • 选项A：判断$A\cup B = \Omega$是否成立
      $P(A\cup B)=1$只能说明$A\cup B$发生的概率为$1$，但这并不意味着$A\cup B$就一定等于样本空间$\Omega$。因为在概率论中，存在概率为$0$的事件，即使$A\cup B$不包含整个样本空间，但包含的那些不在$A\cup B$中的事件概率为$0$时，$P(A\cup B)$也可以等于$1$。所以$A\cup B = \Omega$不必然成立。
    • 选项B：判断$P(A - B)=0$是否成立
      根据概率的性质，$P(A - B)=P(A\cap\overline{B}) = P(A) - P(A\cap B)$，将$P(A)=0.5$，$P(A\cap B)=0$代入可得：
      $P(A - B)=0.5 - 0 = 0.5\neq0$
      所以$P(A - B)=0$不成立。
    • 选项C：判断$AB = \varnothing$是否成立
      $P(A\cap B)=0$只能说明$A$和$B$同时发生的概率为$0$，但这并不意味着$A$和$B$的交集一定为空集。例如在连续型随机变量的分布中，某个单点的概率为$0$，但这个单点是有可能存在的。所以$AB = \varnothing$不必然成立。
    • 选项D：判断$P(\overline{A}\cup\overline{B}) = 1$是否成立
      根据德摩根定律，$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$，那么$P(\overline{A}\cup\overline{B}) = P(\overline{A\cap B})$。
      又因为$P(A\cap B)=0$，根据概率的基本性质，对于任意事件$C$，有$P(C)+P(\overline{C}) = 1$，令$C = A\cap B$，则$P(\overline{A\cap B}) = 1 - P(A\cap B)=1 - 0 = 1$。
      所以$P(\overline{A}\cup\overline{B}) = 1$必然成立。