15.设总体X的概率分布为-|||-X 1 2 3-|||-概率 θ^2 theta (1-theta ) ((1-{e))}^2-|||-其中 theta (0lt theta lt 1) 为未知参数,现在观察容量为n的样本,其中,n1个观察值为1,-|||-个观察值为2,n3个观察值为3,求θ的矩估计和极大似然估计.

步骤 1：计算总体X的期望值
总体X的期望值E(X)可以通过概率分布计算，即：
\[ E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2 \]
\[ E(X) = \theta^2 + 4\theta(1-\theta) + 3(1-\theta)^2 \]
\[ E(X) = \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2 \]
\[ E(X) = 3 - 2\theta \]

步骤 2：求θ的矩估计
矩估计是通过样本矩来估计总体矩，这里我们用样本均值来估计总体均值。设样本均值为$\overline{X}$，则有：
\[ \overline{X} = \frac{n_1 \cdot 1 + n_2 \cdot 2 + n_3 \cdot 3}{n} \]
其中，$n_1$，$n_2$，$n_3$分别是观察值为1，2，3的样本数，$n = n_1 + n_2 + n_3$。根据矩估计原理，我们有：
\[ \overline{X} = E(X) = 3 - 2\theta \]
解得：
\[ \hat{\theta} = \frac{3 - \overline{X}}{2} \]

步骤 3：求θ的极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数来估计参数。似然函数为：
\[ L(\theta) = \theta^{2n_1} \cdot (2\theta(1-\theta))^{n_2} \cdot (1-\theta)^{2n_3} \]
取对数似然函数：
\[ \ln L(\theta) = 2n_1 \ln \theta + n_2 \ln (2\theta(1-\theta)) + 2n_3 \ln (1-\theta) \]
\[ \ln L(\theta) = 2n_1 \ln \theta + n_2 \ln 2 + n_2 \ln \theta + n_2 \ln (1-\theta) + 2n_3 \ln (1-\theta) \]
\[ \ln L(\theta) = (2n_1 + n_2) \ln \theta + n_2 \ln 2 + (n_2 + 2n_3) \ln (1-\theta) \]
对$\theta$求导并令导数为0：
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d\theta} = \frac{2n_1 + n_2}{\theta} - \frac{n_2 + 2n_3}{1-\theta} = 0 \]
解得：
\[ \hat{\theta} = \frac{2n_1 + n_2}{2n_1 + 2n_2 + 2n_3} = \frac{2n_1 + n_2}{2n} \]