题目

已知 A, B 都是 n 阶方阵，则以下结论成立的是A. AB = 0 Leftrightarrow A = 0 或 B = 0B. AB neq 0 Leftrightarrow A neq 0C. |AB| = 0 Leftrightarrow |A| = 0 或 |B| = 0D. A = E Leftrightarrow |A| = 1

已知 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，则以下结论成立的是 A. $AB = 0 \Leftrightarrow A = 0$ 或 $B = 0$ B. $AB \neq 0 \Leftrightarrow A \neq 0$ C. $|AB| = 0 \Leftrightarrow |A| = 0$ 或 $|B| = 0$ D. $A = E \Leftrightarrow |A| = 1$

题目解答

答案

答案：C

解析：

A. $AB = 0 \iff A = 0$ 或 $B = 0$

  • 错误：矩阵乘法中，即使 $A \neq 0$ 且 $B \neq 0$，也可能有 $AB = 0$（如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$）。

B. $AB \neq 0 \iff A \neq 0$

  • 错误：若 $A \neq 0$ 且 $B = 0$，则 $AB = 0$；或 $A \neq 0$ 且 $B \neq 0$，但 $AB = 0$（如选项 A 中的例子）。

C. $|AB| = 0 \iff |A| = 0$ 或 $|B| = 0$

  • 正确：由行列式性质 $|AB| = |A||B|$，若 $|AB| = 0$，则 $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$，反之亦然。

D. $A = E \iff |A| = 1$

  • 错误：单位矩阵 $E$ 的行列式为 1，但行列式为 1 的矩阵不一定为单位矩阵（如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$）。

结论： 正确选项为 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质、行列式的性质，以及逻辑条件的充分必要性判断。

解题核心思路：

  1. 矩阵乘积为零的条件：两个非零矩阵相乘可能为零矩阵，因此选项A、B的逻辑不成立。
  2. 行列式的乘积性质：利用行列式性质$|AB| = |A||B|$，可直接推导选项C的正确性。
  3. 行列式与矩阵的关系：行列式为1的矩阵不一定是单位矩阵，因此选项D错误。

破题关键点：

  • 反例验证：通过构造具体矩阵（如选项A中的例子）验证命题的正确性。
  • 行列式性质的应用：明确行列式的乘积性质是选项C的核心依据。

选项A分析

结论：错误
原因：矩阵乘法中，即使$A \neq 0$且$B \neq 0$，也可能有$AB = 0$。例如：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$

选项B分析

结论：错误
原因：

  1. 若$A \neq 0$但$B = 0$，则$AB = 0$。
  2. 即使$A \neq 0$且$B \neq 0$，也可能存在$AB = 0$（如选项A中的例子）。

选项C分析

结论：正确
推导：

  • 必要性：若$|AB| = 0$，根据行列式性质$|AB| = |A||B|$，则$|A| = 0$或$|B| = 0$。
  • 充分性：若$|A| = 0$或$|B| = 0$，则$|AB| = |A||B| = 0$。

选项D分析

结论：错误
原因：单位矩阵的行列式为1，但行列式为1的矩阵不一定是单位矩阵。例如：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies |A| = 1, \quad A \neq E.$