题目

【例5.5】设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aalpha=0的非零向量，若对满足beta^Talpha=0的3维列向量β，均有Abeta=beta，则（）. (A)A.^3的迹为2 (B.)A^3的迹为5 (C.)A^2的迹为8 (D.)A^2的迹为9

【例5.5】设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足$A\alpha=0$的非零向量，若对满足$\beta^{T}\alpha=0$的3维列向量β，均有$A\beta=\beta$，则（）. (A)$
A.^{3}$的迹为2 (
B.)$A^{3}$的迹为5 (
C.)$A^{2}$的迹为8 (
D.)$A^{2}$的迹为9

题目解答

答案

设 $ A $ 为秩为2的3阶矩阵，$\alpha$ 满足 $ A\alpha = 0 $，且对任意满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的向量 $\beta$，有 $ A\beta = \beta $。 1. **特征值分析**： - $ A $ 的秩为2，故特征值中有一个0（因零空间维数为1）。 - $\alpha$ 对应特征值0，$\beta$（与 $\alpha$ 正交）对应特征值1，且特征值1的几何重数为2。 - 因此，$ A $ 的特征值为 $ 1, 1, 0 $。 2. **矩阵幂的迹**： - $ A^k $ 的特征值为 $ 1^k, 1^k, 0^k $，即 $ 1, 1, 0 $。 - 迹为特征值之和，故 $ \text{tr}(A^k) = 1 + 1 + 0 = 2 $。 3. **选项分析**： - (A) $ A^3 $ 的迹为2，正确。 - (B) $ A^3 $ 的迹为5，错误。 - (C) $ A^2 $ 的迹为8，错误。 - (D) $ A^2 $ 的迹为9，错误。 **答案：** $\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、特征值、特征向量与矩阵幂的迹之间的关系。关键在于通过题目条件确定矩阵的特征值，进而计算幂矩阵的迹。

解题思路：

秩与零空间：由秩为2可知，矩阵$A$的零空间维数为1，对应特征值0。
特征值分析：与$\alpha$正交的二维子空间中，$A$作用等价于单位矩阵，对应特征值1（二重）。
迹的计算：矩阵幂的迹等于特征值幂的和，直接代入特征值即可求解。

破题关键：通过条件确定$A$的特征值为$1,1,0$，并利用特征值的幂性质计算迹。

特征值的确定

零空间对应特征值0：
由$A\alpha = 0$且$\alpha \neq 0$，知$\alpha$是$A$的特征向量，对应特征值$\lambda_1 = 0$。
二维子空间对应特征值1：
对于任意满足$\beta^T\alpha = 0$的$\beta$，有$A\beta = \beta$，说明在与$\alpha$正交的二维子空间中，$A$的作用等价于单位矩阵。因此，特征值$\lambda_2 = 1$（二重）。

矩阵幂的迹计算

$A^2$的特征值：$1^2, 1^2, 0^2$，即$1,1,0$，迹为$1+1+0=2$。
$A^3$的特征值：$1^3, 1^3, 0^3$，即$1,1,0$，迹同样为$2$。

选项分析

(A) $A^3$的迹为2，正确。
(B) $A^3$的迹为5，错误。
(C) $A^2$的迹为8，错误。
(D) $A^2$的迹为9，错误。