题目

设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为1的指数分布,Y的概率分布为-|||- Y=-1 =p Y=1 =1-p(0lt plt 1), 令 =xy.-|||-(1)求Z的概率密度;-|||-(2)p为何值时,X与Z不相关?-|||-(3)X与Z是否相互独立?

题目解答

答案

解析

本题主要考查随机变量的概率密度、相关性以及独立性的相关知识。解题思路如下：

（1）求$Z$的概率密度

  • 首先，根据全概率公式，因为$Y$只能取$-1$和$1$两个值，所以$Z = XY$的分布函数$F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{XY\leq z\}$可表示为$P\{XY\leq z|Y = -1\}P\{Y = -1\}+P\{XY\leq z|Y = 1\}P\{Y = 1\}$。
  • 已知$X$服从参数为$1$的指数分布，其概率密度为$f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$，分布函数为$F_X(x)=\begin{cases}1 - e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$。
    • 当$z\lt0$时：
      $F_Z(z)=P\{ -X\leq z\}p + P\{ X\leq z\}(1 - p)$
      因为$P\{ -X\leq z\}=P\{X\geq -z\}=1 - P\{X\lt -z\}=1 - F_X(-z)=e^{z}$（$z\lt0$时$-z\gt0$），$P\{ X\leq z\}=0$（$z\lt0$），所以$F_Z(z)=pe^{z}+(1 - p)\times0 = pe^{z}$。
    • 当$z\geq0$时：
      $F_Z(z)=P\{ -X\leq z\}p + P\{ X\leq z\}(1 - p)$
      因为$P\{ -X\leq z\}=1$（$z\geq0$时$-X\leq z$恒成立），$P\{ X\leq z\}=F_X(z)=1 - e^{-z}$，所以$F_Z(z)=p\times1+(1 - p)(1 - e^{-z})=1-(1 - p)e^{-z}$。
  • 然后，对分布函数$F_Z(z)$求导得到概率密度$f_Z(z)=F_Z^\prime(z)$：
    当$z\lt0$时，$f_Z(z)=(pe^{z})^\prime = pe^{z}$；当$z\geq0$时，$f_Z(z)=(1-(1 - p)e^{-z})^\prime=(1 - p)e^{-z}$。
    所以$Z$的概率密度为$f_Z(z)=\begin{cases}pe^{z},&z\lt0\\(1 - p)e^{-z},&z\geq0\end{cases}$。

（2）求$p$为何值时，$X$与$Z$不相关

  • 若$X$与$Z$不相关，则$Cov(X,Z)=0$。
  • 根据协方差公式$Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)\cdot E(Z)$，又因为$Z = XY$，所以$E(XZ)=E(X\cdot XY)=E(X^2Y)$。
  • 由于$X$与$Y$相互独立，根据期望的性质$E(X^2Y)=E(X^2)\cdot E(Y)$，$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$。
  • 已知$X$服从参数为$1$的指数分布，$E(X)=\frac{1}{1}=1$，$D(X)=\frac{1}{1^2}=1$，且$E(X^2)=D(X)+(E(X))^2=1 + 1^2 = 2$。
    $E(Y)=(-1)\times p + 1\times(1 - p)=1 - 2p$。
  • 则$Cov(X,Z)=E(X^2)\cdot E(Y)-(E(X))^2\cdot E(Y)=D(X)\cdot E(Y)=1\times(1 - 2p)=1 - 2p$。
  • 令$Cov(X,Z)=0$，即$1 - 2p = 0$，解得$p=\frac{1}{2}$。

（3）判断$X$与$Z$是否相互独立

  • 若$X$与$Z$相互独立，则对于任意的$x,z$，都有$P\{X\leq x,Z\leq z\}=P\{X\leq x\}P\{Z\leq z\}$。
  • 取$x = 1$，$z = -1$，$P\{X\leq 1,Z\leq -1\}=P\{X\leq 1,XY\leq -1\}$，因为$X\gt0$，当$Y = 1$时$XY\gt0$，所以$P\{X\leq 1,XY\leq -1\}=0$。
    而$P\{X\leq 1\}=F_X(1)=1 - e^{-1}\gt0$，$P\{Z\leq -1\}=F_Z(-1)=pe^{-1}\gt0$（$0\lt p\lt1$），所以$P\{X\leq 1,Z\leq -1\}\neq P\{X\leq 1\}P\{Z\leq -1\}$，即$X$与$Z$不相互独立。