设总体 X 服从两点分布 b ( 1 , p )， 一个样本观测值为 0 , 0 , 1 , 1 , 0 ，则参数 p 的极大似然估计值为（ ）A 0.4B 0.6C 2D 0.2

考查要点：本题主要考查两点分布（伯努利分布）的极大似然估计的应用，需要掌握似然函数的构造、对数似然函数的求导及极值求解。

解题核心思路：

1. 写出似然函数：根据样本观测值，构造概率乘积形式的似然函数。
2. 取对数简化计算：将乘积转化为对数和，便于求导。
3. 求导并解方程：通过对数似然函数对参数$p$求导，令导数为零，解方程得到极大似然估计值。
4. 直接结论法：在伯努利分布中，极大似然估计值$\hat{p}$等于样本均值$\bar{X}$。

破题关键点：

• 正确识别样本中成功次数（取值为1的样本数）。
• 利用对数似然函数的导数公式，快速求解方程。

步骤1：构造似然函数

样本观测值为$0,0,1,1,0$，其中：

• 成功次数（取值为1）：$n_1 = 2$，
• 失败次数（取值为0）：$n_0 = 3$。

似然函数为：
$L(p) = \prod_{i=1}^5 P(X=x_i) = (1-p)^{n_0} \cdot p^{n_1} = (1-p)^3 \cdot p^2.$

步骤2：取对数并求导

对数似然函数为：
$\ln L(p) = 3\ln(1-p) + 2\ln p.$
对$p$求导并令导数为零：
$\frac{d}{dp} \ln L(p) = -\frac{3}{1-p} + \frac{2}{p} = 0.$

步骤3：解方程求$p$

整理方程：
$\frac{3}{1-p} = \frac{2}{p} \implies 3p = 2(1-p) \implies 5p = 2 \implies \hat{p} = \frac{2}{5} = 0.4.$

直接结论法（验证）

在伯努利分布中，极大似然估计值$\hat{p}$等于样本均值$\bar{X}$：
$\bar{X} = \frac{1}{5}(0+0+1+1+0) = \frac{2}{5} = 0.4.$