题目

4.(1)设样本X_(1),X_(2),...,X_(6)来自总体N(0,1),Y=(X_(1)+X_(2)+X_(3))^2+(X_(4)+X_(5)+X_(6))^2，试确定常数C使CY服从X^2分布.

4.(1)设样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{6}$来自总体$N(0,1),Y=(X_{1}+X_{2}+X_{3})^{2}+(X_{4}+X_{5}+X_{6})^{2}$，试确定常数C使CY服从$X^{2}$分布.

题目解答

答案

为了确定常数 $ C $ 使得 $ CY $ 服从 $ \chi^2 $ 分布，我们首先需要分析 $ Y $ 的分布。给定 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 是来自总体 $ N(0,1) $ 的样本，我们定义两个新的随机变量： \[ U = X_1 + X_2 + X_3 \] \[ V = X_4 + X_5 + X_6 \] 由于 $ X_i $ 都是独立的且服从 $ N(0,1) $ 分布，$ U $ 和 $ V $ 都是正态随机变量。 $ U $ 的均值和方差为： \[ E(U) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0 + 0 + 0 = 0 \] \[ \text{Var}(U) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_3) = 1 + 1 + 1 = 3 \] 因此， $ U \sim N(0,3) $。类似地， $ V \sim N(0,3) $。 接下来，我们考虑 $ U^2 $ 和 $ V^2 $ 的分布。对于正态随机变量 $ Z \sim N(0,\sigma^2) $，随机变量 $ \frac{Z^2}{\sigma^2} $ 服从自由度为1的 $ \chi^2 $ 分布。因此，我们有： \[ \frac{U^2}{3} \sim \chi^2(1) \] \[ \frac{V^2}{3} \sim \chi^2(1) \] 由于 $ U $ 和 $ V $ 是独立的， $ \frac{U^2}{3} $ 和 $ \frac{V^2}{3} $ 也是独立的。两个独立的 $ \chi^2(1) $ 随机变量的和服从自由度为2的 $ \chi^2 $ 分布： \[ \frac{U^2}{3} + \frac{V^2}{3} \sim \chi^2(2) \] 现在，我们用 $ Y $ 表示 $ U^2 + V^2 $： \[ Y = U^2 + V^2 \] 为了使 $ CY $ 服从 $ \chi^2 $ 分布，我们需要找到 $ C $ 使得： \[ CY = C(U^2 + V^2) = \frac{U^2}{3} + \frac{V^2}{3} \] 这表明 $ C = \frac{1}{3} $。因此，常数 $ C $ 为： \[ \boxed{\frac{1}{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查卡方分布的定义及其性质，特别是如何将线性组合的平方和转化为标准卡方分布的形式。

解题核心思路：

  1. 识别正态变量的线性组合：将$Y$分解为两个独立的正态变量的平方和。
  2. 标准化处理：将每个正态变量的平方除以方差，使其服从自由度为1的卡方分布。
  3. 调整系数：通过系数$C$使得整体表达式符合卡方分布的结构。

破题关键点：

  • 独立性：确认$U = X_1 + X_2 + X_3$和$V = X_4 + X_5 + X_6$的独立性。
  • 方差计算：计算$U$和$V$的方差，为后续标准化做准备。
  • 卡方分布的叠加性：独立卡方变量的和仍为卡方变量，自由度相加。

步骤1：定义随机变量

设$U = X_1 + X_2 + X_3$，$V = X_4 + X_5 + X_6$。由于$X_i$独立且服从$N(0,1)$，可得：

  • $U \sim N(0, 3)$（均值为0，方差为$1+1+1=3$）
  • $V \sim N(0, 3)$，且$U$与$V$独立。

步骤2：标准化平方项

对$U^2$和$V^2$进行标准化：

  • $\frac{U^2}{3} \sim \chi^2(1)$
  • $\frac{V^2}{3} \sim \chi^2(1)$

步骤3：构造卡方分布

由于$\frac{U^2}{3}$和$\frac{V^2}{3}$独立，其和服从$\chi^2(2)$：
$\frac{U^2}{3} + \frac{V^2}{3} \sim \chi^2(2)$

步骤4：关联到$Y$并确定$C$

原式$Y = U^2 + V^2$可表示为：
$Y = 3\left( \frac{U^2}{3} + \frac{V^2}{3} \right) = 3 \cdot \chi^2(2)$
要使$CY \sim \chi^2(2)$，需满足：
$C \cdot 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{3}$