题目
2025.21.计算极限lim_(xto0)[(1)/(ln(1+x))-(1)/(sin x)]
2025.21.计算极限$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{\sin x}\right]$
题目解答
答案
为了计算极限 $\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{\sin x}\right]$，我们可以使用泰勒展开式来近似 $\ln(1+x)$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 附近的值。
首先， recall the Taylor series expansion:
1. $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开式为:
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
\]
对于小的 $x$，我们可以近似为:
\[
\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}
\]
2. $\sin x$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开式为:
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots
\]
对于小的 $x$，我们可以近似为:
\[
\sin x \approx x
\]
现在，将这些近似值代入原极限表达式:
\[
\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{\sin x}\right] \approx \lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} - \frac{1}{x}\right]
\]
接下来，我们简化 $\frac{1}{x - \frac{x^2}{2}}$:
\[
\frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} = \frac{1}{x(1 - \frac{x}{2})} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}}
\]
使用几何级数展开 $\frac{1}{1 - u} \approx 1 + u$ 对于小的 $u$，我们得到:
\[
\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} \approx 1 + \frac{x}{2}
\]
因此:
\[
\frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} \approx \frac{1}{x} \left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}
\]
现在将这个结果代回原极限表达式:
\[
\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} - \frac{1}{x}\right] \approx \lim_{x\to0}\left[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{x}\right] = \lim_{x\to0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
Thus, the answer is $\boxed{\frac{1}{2}}$.
解析
本题考查利用泰勒展开式计算极限的知识点。解题思路是先分别写出$\ln(1 + x)$和$\sin x$在$x = 0$附近的泰勒展开式，然后取其近似式代入原极限表达式，再对代入后的式子进行化简，最后求出极限值。
- 写出泰勒展开式并取近似式：
- $\ln(1 + x)$在$x = 0$附近的泰勒展开式为$\ln(1 + x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots$，对于小的$x$，近似为$\ln(1 + x)\approx x-\frac{x^{2}}{2}$。
- $\sin x$在$x = 0$附近的泰勒展开式为$\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots$，对于小的$x$，近似为$\sin x\approx x$。
- 代入近似式到原极限表达式：
将$\ln(1 + x)\approx x-\frac{x^{2}}{2}$和$\sin x\approx x$代入$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{\sin x}\right]$，得到$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}-\frac{1}{x}\right]$。 - 化简$\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}$：
对$\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}$进行变形，$\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}=\frac{1}{x(1 - \frac{x}{2})}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1 - \frac{x}{2}}$。
根据几何级数展开$\frac{1}{1 - u}\approx1 + u$（对于小的$u$），这里$u = \frac{x}{2}$，则$\frac{1}{1 - \frac{x}{2}}\approx1+\frac{x}{2}$。
所以$\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}\approx\frac{1}{x}\left(1+\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$。 - 计算极限：
将$\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}\approx\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$代回$\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{x-\frac{x^{2}}{2}}-\frac{1}{x}\right]$，得到$\lim_{x\to0}\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{x}\right]$。
去括号化简为$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}$，因为$\frac{1}{2}$是常数，所以$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。