题目
8.5 某种大量生产的袋装食品按规定每袋不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋,发-|||-现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,问该批食品能否出厂( (alpha =0.05) )?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义假设
- 原假设 ${H}_{0}$：$\pi \leqslant 5\%$，即不符合标准的比例不超过5%。
- 备择假设 ${H}_{1}$：$\pi \gt 5\%$，即不符合标准的比例超过5%。
步骤 2：计算样本比例
- 样本中不符合标准的袋数为6袋，样本容量为50袋。
- 样本比例 $\hat{\pi} = \frac{6}{50} = 0.12$。
步骤 3：计算检验统计量
- 使用正态近似，检验统计量 $Z = \frac{\hat{\pi} - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$，其中 $\pi_0 = 0.05$，$n = 50$。
- $Z = \frac{0.12 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{\frac{0.0475}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{0.00095}} = \frac{0.07}{0.0308} \approx 2.27$。
步骤 4：确定临界值和拒绝域
- 由于显著性水平 $\alpha = 0.05$，且检验为单侧检验，临界值 $Z_{\alpha} = 1.645$。
- 拒绝域为 $Z > 1.645$。
步骤 5：做出决策
- 计算得到的检验统计量 $Z = 2.27$ 大于临界值 $1.645$，因此拒绝原假设 ${H}_{0}$。
- 原假设 ${H}_{0}$：$\pi \leqslant 5\%$，即不符合标准的比例不超过5%。
- 备择假设 ${H}_{1}$：$\pi \gt 5\%$，即不符合标准的比例超过5%。
步骤 2：计算样本比例
- 样本中不符合标准的袋数为6袋，样本容量为50袋。
- 样本比例 $\hat{\pi} = \frac{6}{50} = 0.12$。
步骤 3：计算检验统计量
- 使用正态近似，检验统计量 $Z = \frac{\hat{\pi} - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$，其中 $\pi_0 = 0.05$，$n = 50$。
- $Z = \frac{0.12 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{\frac{0.0475}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{0.00095}} = \frac{0.07}{0.0308} \approx 2.27$。
步骤 4：确定临界值和拒绝域
- 由于显著性水平 $\alpha = 0.05$，且检验为单侧检验，临界值 $Z_{\alpha} = 1.645$。
- 拒绝域为 $Z > 1.645$。
步骤 5：做出决策
- 计算得到的检验统计量 $Z = 2.27$ 大于临界值 $1.645$，因此拒绝原假设 ${H}_{0}$。