题目

距离矩阵D是4个样品两两间的距离矩阵D。D=(}0&4&6&14&0&9&76&9&0&101&7&10&0)试用最短距离法进行系统聚类，写出计算过程，并画出系统聚类图。

距离矩阵D是4个样品两两间的距离矩阵D。 $D=\left(\begin{matrix}0&4&6&1\\4&0&9&7\\6&9&0&10\\1&7&10&0\end{matrix}\right)$ 试用最短距离法进行系统聚类，写出计算过程，并画出系统聚类图。

题目解答

答案

为了使用最短距离法进行系统聚类，我们将遵循以下步骤：

  1. 初始化：将每个样品视为一个独立的簇。簇是 {1}, {2}, {3}, {4}。

  2. 找到最小距离：在距离矩阵 $D$ 中找到最小的非零距离。最小距离是1，它在位置 (1,4) 和 (4,1)。

  3. 合并簇：将簇 {1} 和 {4} 合并为一个新簇 {1,4}。

  4. 更新距离矩阵：计算新簇 {1,4} 与剩余簇 {2} 和 {3} 之间的距离。使用最短距离法，新簇与另一个簇之间的距离是新簇中任何点与另一个簇中任何点之间的最小距离。

    • 新簇 {1,4} 与簇 {2} 之间的距离是 $\min(4, 7) = 4$。
    • 新簇 {1,4} 与簇 {3} 之间的距离是 $\min(6, 10) = 6$。

    新的距离矩阵是：
    $D = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 6 \\ 4 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 0 \end{pmatrix}$
    其中行和列对应于簇 {1,4}, {2}, 和 {3}。

  5. 重复过程：在新的距离矩阵中找到最小的非零距离。最小距离是4，它在位置 (1,4), (2) 和 (2), (1,4)。

  6. 合并簇：将簇 {1,4} 和 {2} 合并为一个新簇 {1,2,4}。

  7. 更新距离矩阵：计算新簇 {1,2,4} 与剩余簇 {3} 之间的距离。

    • 新簇 {1,2,4} 与簇 {3} 之间的距离是 $\min(6, 9) = 6$。

    新的距离矩阵是：
    $D = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$
    其中行和列对应于簇 {1,2,4} 和 {3}。

  8. 重复过程：在新的距离矩阵中找到最小的非零距离。最小距离是6，它在位置 (1,2,4), (3) 和 (3), (1,2,4)。

  9. 合并簇：将簇 {1,2,4} 和 {3} 合并为一个新簇 {1,2,3,4}。

  10. 完成：所有样品现在都在一个簇中，聚类过程完成。

系统聚类图（树状图）如下：

         {1,2,3,4}
          /    \
    {1,2,4}    {3}
    /    \
{1,4}   {2}
/   \
{1}  {4}

最终答案是系统聚类图，可以表示为：

$\boxed{\begin{array}{c}\text{{1,2,3,4}} \\\text{{/ \}} \\\text{{1,2,4} {3}} \\\text{{/ \}} \\\text{{1,4} {2}} \\\text{{/ \}} \\\text{{1} {4}} \\\end{array}}$

解析

本题考察的知识是系统聚类中的最短距离法，解题思路是按照最短距离法的步骤，先初始化，然后不断找到最小距离并合并簇，同时更新距离矩阵，最后完成聚类并绘制系统聚类图。

下面是详细的计算过程和系统聚类图绘制：

  1. 初始化：
    将每个样品视为一个独立的簇，即簇为 $\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}$。
    此时的距离矩阵为 $D=\left(\begin{matrix}0&4&6&1\\4&0&9&7\\6&9&0&10\\1&7&10&0\end{matrix}\right)$。
  2. 第一次合并簇：
    在距离矩阵 $D$ 中找到最小的非零距离，最小距离是 $1$，它在位置 $(1,4)$ 和 $(4,1)$。
    将簇 $\{1\}$ 和 $\{4\}$ 合并为一个新簇 $\{1,4\}$。
    更新距离矩阵：
    新簇 $\{1,4\}$ 与簇 $\{2\}$ 之间的距离是 $\min(4, 7) = 4$。
    新簇 $\{1,4\}$ 与簇 $\{3\}$ 之间的距离是 $\min(6, 10) = 6$。
    得到新的距离矩阵是 $D = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 6 \\ 4 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 0 \end{pmatrix}$，其中行和列对应于簇 $\{1,4\}, \{2\}, \{3\}$。
  3. 第二次合并簇：
    在新的距离矩阵中找到最小的非零距离，最小距离是 $4$，它在位置 $(1,2)$ 和 $(2,1)$。
    将簇 $\{1,4\}$ 和 $\{2\}$ 合并为一个新簇 $\{1,2,4\}$。
    更新距离矩阵：
    新簇 $\{1,2,4\}$ 与簇 $\{3\}$ 之间的距离是 $\min(6, 9) = 6$。
    得到新的距离矩阵是 $D = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$，其中行和列对应于簇 $\{1,2,4\}$ 和 $\{3\}$。
  4. 第三次合并簇：
    在新的距离矩阵中找到最小的非零距离，最小距离是 $6$，它在位置 $(1,2)$ 和 $(2,1)$。
    将簇 $\{1,2,4\}$ 和 $\{3\}$ 合并为一个新簇 $\{1,2,3,4\}$。
    完成聚类过程。

系统聚类图（树状图）如下：

{1,2,3,4}
/ \
{1,2,4} {3}
/ \
{1,4} {2}
/ \
{1} {4}