设某种电子元件的寿命X(单位:h)服从正态总体N( mu ,(sigma )^2)mu ,(sigma )^2)均未知。现测得16只元件的寿命如下:159 280 101 212 224 379 179 164222 362 168 250 149 260 485 170取显著性水平mu ,(sigma )^2)=0.05的情况下,问:(1)试检验假设mu ,(sigma )^2)。(2)试检验假设mu ,(sigma )^2)。(mu ,(sigma )^2)mu ,(sigma )^2)mu ,(sigma )^2),mu ,(sigma )^2))

考查要点
本题主要考查小样本均值的t检验和方差的卡方检验，涉及假设检验的基本步骤与临界值法的应用。

解题思路

1. 均值检验（第1问）：
   • 样本容量$n=16$（小样本），总体方差未知，使用t检验统计量。
   • 双侧检验，需比较计算的t值与临界值$t_{0.025}(15)$。
2. 方差检验（第2问）：
   • 检验方差是否小于$100^2$，使用卡方检验统计量。
   • 左侧检验，需判断卡方统计量是否小于临界值$\chi^2_{0.95}(15)$。

破题关键

• 正确计算样本均值、样本方差。
• 明确检验类型（双侧/单侧），选择对应的临界值。
• 正确应用拒绝域规则，避免混淆临界值方向。

第（1）题

计算样本均值与标准差

样本数据计算得：
$\overline{X} = \frac{1}{16}\sum X_i = 235.25, \quad s = \sqrt{\frac{1}{15}\sum (X_i - \overline{X})^2} = 92.4$

构造t检验统计量

$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{235.25 - 225}{92.4/\sqrt{16}} \approx 0.444$

比较临界值

双侧检验临界值为$t_{0.025}(15) = 2.131$，因$|T| = 0.444 < 2.131$，不拒绝原假设。

第（2）题

构造卡方统计量

$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{15 \times 92.4^2}{100^2} \approx 12.807$

判断拒绝域

左侧检验，临界值为$\chi^2_{0.95}(15) = 7.261$。因$\chi^2 = 12.807 > 7.261$，不拒绝原假设。