填空题（共12题，36.0分）20.（3.0分）设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为____第1空

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算和二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单次观测值大于3的概率：利用均匀分布的性质，计算区间长度比例。
2. 建立二项分布模型：三次独立观测中，“成功”（观测值>3）的概率固定，求至少两次成功的概率。
3. 分步计算概率：分别计算恰好两次成功和三次成功的概率，再求和。

关键点：

• 均匀分布的概率密度函数形式。
• 二项分布的概率公式及组合数的计算。

步骤1：计算单次观测值大于3的概率
随机变量$X$在$[2,5]$上服从均匀分布，概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & 2 \leq x \leq 5, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
观测值大于3的概率为区间$[3,5]$的长度占总区间长度的比例：
$P(X > 3) = \int_{3}^{5} \dfrac{1}{3} \, dx = \dfrac{2}{3}.$

步骤2：建立二项分布模型
设$Y$为三次观测中观测值大于3的次数，则$Y$服从参数为$n=3$、成功概率$p=\dfrac{2}{3}$的二项分布：
$Y \sim B\left(3, \dfrac{2}{3}\right).$

步骤3：计算至少两次成功的概率
“至少两次成功”包括两种情况：

1. 恰好两次成功：
   $P(Y=2) = \dbinom{3}{2} \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \left(\dfrac{1}{3}\right)^{1} = 3 \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{12}{27}.$
2. 三次全部成功：
   $P(Y=3) = \dbinom{3}{3} \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 1 \cdot \dfrac{8}{27} = \dfrac{8}{27}.$
   总概率为两者之和：
   $P(Y \geq 2) = \dfrac{12}{27} + \dfrac{8}{27} = \dfrac{20}{27}.$