题目
1.从长期生产实践知道,某厂生产的60 W灯泡的使用寿命 sim N(mu ,(100)^2) (单-|||-位:h),现从某一批灯泡中抽取5只,测得使用寿命如下:-|||-1455,1502,1370,1610,1430.-|||-试求这批灯泡平均使用寿命μ的置信区间(α分别为0.1和0.05).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，我们需要计算样本均值 $\bar{x}$，这是所有样本值的平均值。样本值为：1455, 1502, 1370, 1610, 1430。
$$
\bar{x} = \frac{1455 + 1502 + 1370 + 1610 + 1430}{5} = \frac{7367}{5} = 1473.4
$$
步骤 2：确定置信区间
由于总体标准差 $\sigma$ 已知，我们可以使用正态分布来计算置信区间。置信区间公式为：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本数量。
步骤 3：计算置信区间
对于 $\alpha = 0.1$，$z_{0.05} = 1.645$，对于 $\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。总体标准差 $\sigma = 100$，样本数量 $n = 5$。
当 $\alpha = 0.1$ 时：
$$
1473.4 \pm 1.645 \frac{100}{\sqrt{5}} = 1473.4 \pm 1.645 \times 44.72 = 1473.4 \pm 73.6
$$
置信区间为 [1400.1, 1546.7]。
当 $\alpha = 0.05$ 时：
$$
1473.4 \pm 1.96 \frac{100}{\sqrt{5}} = 1473.4 \pm 1.96 \times 44.72 = 1473.4 \pm 87.4
$$
置信区间为 [1385.7, 1561.1]。
首先，我们需要计算样本均值 $\bar{x}$，这是所有样本值的平均值。样本值为：1455, 1502, 1370, 1610, 1430。
$$
\bar{x} = \frac{1455 + 1502 + 1370 + 1610 + 1430}{5} = \frac{7367}{5} = 1473.4
$$
步骤 2：确定置信区间
由于总体标准差 $\sigma$ 已知，我们可以使用正态分布来计算置信区间。置信区间公式为：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本数量。
步骤 3：计算置信区间
对于 $\alpha = 0.1$，$z_{0.05} = 1.645$，对于 $\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$。总体标准差 $\sigma = 100$，样本数量 $n = 5$。
当 $\alpha = 0.1$ 时：
$$
1473.4 \pm 1.645 \frac{100}{\sqrt{5}} = 1473.4 \pm 1.645 \times 44.72 = 1473.4 \pm 73.6
$$
置信区间为 [1400.1, 1546.7]。
当 $\alpha = 0.05$ 时：
$$
1473.4 \pm 1.96 \frac{100}{\sqrt{5}} = 1473.4 \pm 1.96 \times 44.72 = 1473.4 \pm 87.4
$$
置信区间为 [1385.7, 1561.1]。