5.判断题设X~N(μ,σ²)，则Y=(X-μ)/(σ)~N(0,1).A 对B 错A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，即对正态分布随机变量进行线性变换后，新变量的分布形式。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：正态分布经过线性变换后仍服从正态分布。
2. 均值与方差的计算：通过线性变换后的均值和方差推导新变量的分布参数。
3. 概率密度函数的变换（选学内容）：通过变量代换法直接推导新变量的密度函数。

破题关键点：

• 线性变换的参数确定：将原变量表示为新变量的线性组合，计算变换后的均值和方差。
• 标准正态分布的定义：均值为0、方差为1的正态分布。

步骤1：确定线性变换后的分布形式
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，定义 $Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $X = \sigma Y + \mu$。
根据正态分布的封闭性，线性变换后的变量仍为正态分布，即 $Y \sim N(E(Y), \text{Var}(Y))$。

步骤2：计算均值与方差

• 均值：
  $E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma} = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0.$
• 方差：
  $\text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma^2} \text{Var}(X) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \sigma^2 = 1.$

步骤3：验证分布类型
由于 $Y$ 是正态分布的线性变换，且均值为0、方差为1，因此 $Y \sim N(0, 1)$。