题目
假设我们有一个正态分布的总体，其均值mu未知，标准差sigma^2已知。为了估计mu，我们从总体中随机抽取了一个容量为n的样本，并计算了样本均值overline(x)。则的置信度为95%的置信区间为（）A. [overline(x)-t_((alpha)/(2))(n)(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+t_((alpha)/(2))(n)(sigma)/(sqrt(n))]B. [overline(x)-z_(0.025)sigma,overline(x)+z_(0.025)sigma]C. [overline(x)-z_(0.05)(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+z_(0.05)(sigma)/(sqrt(n))]D. [overline(x)-z_(0.025)(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+z_(0.025)(sigma)/(sqrt(n))]
假设我们有一个正态分布的总体，其均值$\mu$未知，标准差$\sigma^2$已知。为了估计$\mu$，我们从总体中随机抽取了一个容量为$n$的样本，并计算了样本均值$\overline{x}$。则的置信度为95%的置信区间为（）
A. $[\overline{x}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
B. $[\overline{x}-z_{0.025}\sigma,\overline{x}+z_{0.025}\sigma]$
C. $[\overline{x}-z_{0.05}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{0.05}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
D. $[\overline{x}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
题目解答
答案
D. $[\overline{x}-z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
由于总体标准差 $\sigma^2$ 已知，我们使用正态分布来估计总体均值 $\mu$。样本均值 $\overline{x}$ 是 $\mu$ 的点估计，置信区间由以下公式给出： \[ \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\alpha$ 是显著性水平。
步骤 2：确定显著性水平
对于95%的置信区间，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。因此，我们使用 $z_{0.025}$。
步骤 3：计算置信区间
$z_{0.025}$ 的值是标准正态分布的上2.5%分位数，已知为 approximately 1.96. 将此值代入公式，我们得到： \[ \overline{x} \pm z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 这可以写为： \[ \left[ \overline{x} - z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \]
由于总体标准差 $\sigma^2$ 已知，我们使用正态分布来估计总体均值 $\mu$。样本均值 $\overline{x}$ 是 $\mu$ 的点估计，置信区间由以下公式给出： \[ \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\alpha$ 是显著性水平。
步骤 2：确定显著性水平
对于95%的置信区间，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。因此，我们使用 $z_{0.025}$。
步骤 3：计算置信区间
$z_{0.025}$ 的值是标准正态分布的上2.5%分位数，已知为 approximately 1.96. 将此值代入公式，我们得到： \[ \overline{x} \pm z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 这可以写为： \[ \left[ \overline{x} - z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \]