题目
设总体X的方差为1,据来自X的容量为100的简单随机样本,测得均值为5,则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为__________.(μ0.025=1.96)正确答案:[4.804,5.196]
设总体X的方差为1,据来自X的容量为100的简单随机样本,测得均值为5,则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为__________.(μ0.025=1.96)
正确答案:[4.804,5.196]
题目解答
答案
解析:因为方差已知,于是
,由于n=100,a=0.05, 查表得μα/2=μ0.025=1.96, 又
=5,所以μ的置信水平为0.95的置信区间为:
,由于n=100,a=0.05, 查表得μα/2=μ0.025=1.96, 又=5,所以μ的置信水平为0.95的置信区间为:解析
步骤 1：确定置信区间的公式
由于总体方差已知，我们使用正态分布来计算置信区间。置信区间的公式为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(z_{\alpha/2}\) 是标准正态分布的分位数，\(\sigma\) 是总体标准差，\(n\) 是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
根据题目，样本均值 \(\bar{x} = 5\)，总体方差 \(\sigma^2 = 1\)，因此总体标准差 \(\sigma = 1\)，样本容量 \(n = 100\)，置信水平为 0.95，查表得 \(z_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算置信区间
将已知数值代入公式，得到：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} \]
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{10} \]
\[ 5 \pm 0.196 \]
\[ [4.804, 5.196] \]
由于总体方差已知，我们使用正态分布来计算置信区间。置信区间的公式为：
\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(z_{\alpha/2}\) 是标准正态分布的分位数，\(\sigma\) 是总体标准差，\(n\) 是样本容量。
步骤 2：代入已知数值
根据题目，样本均值 \(\bar{x} = 5\)，总体方差 \(\sigma^2 = 1\)，因此总体标准差 \(\sigma = 1\)，样本容量 \(n = 100\)，置信水平为 0.95，查表得 \(z_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算置信区间
将已知数值代入公式，得到：
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} \]
\[ 5 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{10} \]
\[ 5 \pm 0.196 \]
\[ [4.804, 5.196] \]