证明题22.证明方程 cos x + x = 2 在开区间 (0,π) 内至少有一个实根. (7分)

本题考查零点存在定理的应用。解题思路是先构造一个与给定方程相关的函数，然后判断该函数在给定闭区间上的连续性，接着计算函数在区间端点处的值，最后根据零点存在定理得出结论。

1. 构造函数：
   对于方程$\cos x + x = 2$，我们构造函数$f(x)=\cos x + x - 2$。
2. 判断函数连续性：
   因为$\cos x$和$x$在$R$上都是连续函数，两个连续函数的和与差仍然是连续函数，所以$f(x)=\cos x + x - 2$在闭区间$[0,\pi]$上连续。
3. 计算端点值：
   • 当$x = 0$时，根据三角函数特殊值$\cos 0 = 1$，可得$f(0)=\cos 0 + 0 - 2=1 - 2=-1\lt0$。
   • 当$x=\pi$时，根据三角函数特殊值$\cos\pi=-1$，可得$f(\pi)=\cos\pi+\pi - 2=-1+\pi - 2=\pi - 3$。
     由于$\pi\approx3.14$，所以$\pi - 3\gt0$，即$f(\pi)\gt0$。
4. 应用零点存在定理：
   零点存在定理为：如果函数$y = f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)\lt0$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
   因为$f(x)$在$[0,\pi]$上连续，且$f(0)\lt0$，$f(\pi)\gt0$，即$f(0)\cdot f(\pi)\lt0$，所以由零点存在定理可知，存在$c\in(0,\pi)$，使得$f(c)=0$。
   而$f(c)=\cos c + c - 2 = 0$，移项可得$\cos c + c = 2$。
   这就说明方程$\cos x + x = 2$在开区间$(0,\pi)$内至少有一个实根$c$。