题目
39.设 gt 0, _(n)(x)=(x)^n+nx-a(n=1,2,... ) 依次求解下列问题:-|||-(1)证明fn(x)在 (0,+infty ) 内有唯一的零点xn;(2)求-|||-lim _(narrow infty )((1+{x)_(n))}^n
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 ${f}_{n}(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内有唯一的零点 ${x}_{n}$。
- 首先，${f}_{n}(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续。
- 其次，${f}_{n}(0)=-a\lt 0$，${f}_{n}(\dfrac {a}{n})={(\dfrac {a}{n})}^{n}\gt 0$。
- 根据零点定理，存在 ${x}_{n}\in (0,\dfrac {a}{n})$，使得 ${f}_{n}({x}_{n})=0$。
- 因为 $x\gt 0$ 时，${f}_{n}^{t}(x)=n{x}^{n-1}+n\gt 0$，所以 ${f}_{n}(x)$ 严格单调增加。
- 因此，零点 ${x}_{n}$ 是唯一的。
步骤 2：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{x}_{n})}^{n}$。
- 当 $n\gt a$ 时，${f}_{n}(\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})=(\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})-\dfrac {a}{n}\lt (\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})-\dfrac {a}{n}=-\dfrac {a}{{n}^{2}}$。
- 由 ${f}_{n}(x)$ 的单调性知 $\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}}\lt {x}_{n}\lt \dfrac {a}{n}$。
- 于是 ${(1+\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})}^{n}\lt {(1+{x}_{n})}^{n}\lt {(1+\dfrac {a}{n})}^{n}$。
- 当 $n\rightarrow \infty $ 时，上式左右两个数列的极限都为 ${e}^{a}$，根据夹逼准则 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{x}_{n})}^{n}={e}^{a}$。
- 首先，${f}_{n}(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续。
- 其次，${f}_{n}(0)=-a\lt 0$，${f}_{n}(\dfrac {a}{n})={(\dfrac {a}{n})}^{n}\gt 0$。
- 根据零点定理，存在 ${x}_{n}\in (0,\dfrac {a}{n})$，使得 ${f}_{n}({x}_{n})=0$。
- 因为 $x\gt 0$ 时，${f}_{n}^{t}(x)=n{x}^{n-1}+n\gt 0$，所以 ${f}_{n}(x)$ 严格单调增加。
- 因此，零点 ${x}_{n}$ 是唯一的。
步骤 2：求 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{x}_{n})}^{n}$。
- 当 $n\gt a$ 时，${f}_{n}(\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})=(\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})-\dfrac {a}{n}\lt (\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})-\dfrac {a}{n}=-\dfrac {a}{{n}^{2}}$。
- 由 ${f}_{n}(x)$ 的单调性知 $\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}}\lt {x}_{n}\lt \dfrac {a}{n}$。
- 于是 ${(1+\dfrac {a}{n}-\dfrac {a}{{n}^{2}})}^{n}\lt {(1+{x}_{n})}^{n}\lt {(1+\dfrac {a}{n})}^{n}$。
- 当 $n\rightarrow \infty $ 时，上式左右两个数列的极限都为 ${e}^{a}$，根据夹逼准则 $\lim _{n\rightarrow \infty }{(1+{x}_{n})}^{n}={e}^{a}$。