10.一复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件工作，试用中心极限定理求整个系统工作的概率。(已知Phi(1.667)=0.95，Phi(2)=0.977，Phi(3.33)=0.999)

本题考查中心极限定理在二项分布近似计算中的应用，核心是通过正态分布近似二项分布来求解系统工作的概率。

步骤1：明确随机变量及其分布

设$X$为系统中工作的部件数。每个部件工作的概率为$1 - 0.10 = 0.9$，且各部件独立，因此$X$服从二项分布$B(n=100, p=0.9)$。

步骤2：计算二项分布的期望和方差

二项分布的期望和方差公式为：
$E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90$
$D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9$

步骤3：用中心极限定理近似正态分布

根据中心极限定理，当$n$较大时，二项分布$B(n,p)$近似服从正态分布$N(E(X), D(X))$，即：
$X \sim N(90, 9) \quad (\text{均值}\mu=90,\text{方差}\sigma^2=9,\text{标准差}\sigma=3)$

步骤4：标准化并计算概率

系统工作要求至少85个部件工作，即$P(X \geq 85)$。将$X$标准化为标准正态变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$：
$P(X \geq 85) = P\left(Z \geq \frac{85 - 90}{3}\right) = P(Z \geq -1.667)$
由于标准正态分布关于$Z=0$对称，$P(Z \geq -a) = P(Z \leq a)$，故：
$P(Z \geq -1.667) = P(Z \leq 1.667) = \Phi(1.667)$

步骤5：查标准正态分布表得结果

已知$\Phi(1.667) = 0.95$，因此：
$P(X \geq 85) = 0.95$