题目
9、设随机变量X~B(10，0.3) Y~N(1，2)，且X与Y相互独立 则E(XY²)=（）[填空1]
9、设随机变量X~B(10，0.3) Y~N(1，2)，且X与Y相互独立 则E(XY²)=（）
[填空1]
题目解答
答案
为了求解 $ E(XY^2) $，我们首先利用随机变量独立性的性质。由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，我们可以将期望值分解为 $ E(XY^2) = E(X)E(Y^2) $。
首先，我们需要计算 $ E(X) $。因为 $ X $ 服从二项分布 $ B(10, 0.3) $，二项分布的期望值由 $ E(X) = np $ 给出，其中 $ n $ 是试验次数，$ p $ 是每次试验成功的概率。这里，$ n = 10 $ 和 $ p = 0.3 $，所以有：
\[
E(X) = 10 \times 0.3 = 3.
\]
接下来，我们需要计算 $ E(Y^2) $。因为 $ Y $ 服从正态分布 $ N(1, 2) $，正态分布的方差由 $ \sigma^2 $ 给出，其中 $ \sigma^2 = 2 $。正态分布的方差也可以表示为 $ \sigma^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2 $。这里，$ E(Y) = 1 $ 和 $ \sigma^2 = 2 $，所以有：
\[
2 = E(Y^2) - 1^2 \implies 2 = E(Y^2) - 1 \implies E(Y^2) = 3.
\]
现在，我们可以找到 $ E(XY^2) $：
\[
E(XY^2) = E(X)E(Y^2) = 3 \times 3 = 9.
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{9}
\]
解析
步骤 1：计算 E(X)
由于 X 服从二项分布 B(10, 0.3)，二项分布的期望值由 E(X) = np 给出，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。这里，n = 10 和 p = 0.3，所以有：
\[ E(X) = 10 \times 0.3 = 3. \]
步骤 2：计算 E(Y^2)
由于 Y 服从正态分布 N(1, 2)，正态分布的方差由 σ^2 给出，其中 σ^2 = 2。正态分布的方差也可以表示为 σ^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2。这里，E(Y) = 1 和 σ^2 = 2，所以有：
\[ 2 = E(Y^2) - 1^2 \implies 2 = E(Y^2) - 1 \implies E(Y^2) = 3. \]
步骤 3：计算 E(XY^2)
由于 X 和 Y 相互独立，我们可以将期望值分解为 E(XY^2) = E(X)E(Y^2)。根据步骤 1 和步骤 2 的结果，我们有：
\[ E(XY^2) = E(X)E(Y^2) = 3 \times 3 = 9. \]
由于 X 服从二项分布 B(10, 0.3)，二项分布的期望值由 E(X) = np 给出，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。这里，n = 10 和 p = 0.3，所以有：
\[ E(X) = 10 \times 0.3 = 3. \]
步骤 2：计算 E(Y^2)
由于 Y 服从正态分布 N(1, 2)，正态分布的方差由 σ^2 给出，其中 σ^2 = 2。正态分布的方差也可以表示为 σ^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2。这里，E(Y) = 1 和 σ^2 = 2，所以有：
\[ 2 = E(Y^2) - 1^2 \implies 2 = E(Y^2) - 1 \implies E(Y^2) = 3. \]
步骤 3：计算 E(XY^2)
由于 X 和 Y 相互独立，我们可以将期望值分解为 E(XY^2) = E(X)E(Y^2)。根据步骤 1 和步骤 2 的结果，我们有：
\[ E(XY^2) = E(X)E(Y^2) = 3 \times 3 = 9. \]