题目
判定下列级数的收敛性:-|||-(1) -dfrac (8)(9)+dfrac ({8)^2}({9)^2}-dfrac ({8)^3}({9)^3}+... +((-1))^ndfrac ({8)^n}({9)^n}+... ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别级数类型
给定的级数为 $-\dfrac {8}{9}+\dfrac {{8}^{2}}{{9}^{2}}-\dfrac {{8}^{3}}{{9}^{3}}+\cdots +{(-1)}^{n}\dfrac {{8}^{n}}{{9}^{n}}+\cdots $，这是一个等比级数，其中每一项都是前一项乘以一个固定的比值。
步骤 2：确定公比
观察级数的每一项，可以发现每一项都是前一项乘以 $-\dfrac{8}{9}$。因此，公比 $q = -\dfrac{8}{9}$。
步骤 3：判断收敛性
根据等比级数的收敛性定理，如果等比级数的公比 $|q| < 1$，则该级数收敛。由于 $|-\dfrac{8}{9}| = \dfrac{8}{9} < 1$，所以该级数收敛。
给定的级数为 $-\dfrac {8}{9}+\dfrac {{8}^{2}}{{9}^{2}}-\dfrac {{8}^{3}}{{9}^{3}}+\cdots +{(-1)}^{n}\dfrac {{8}^{n}}{{9}^{n}}+\cdots $，这是一个等比级数，其中每一项都是前一项乘以一个固定的比值。
步骤 2：确定公比
观察级数的每一项，可以发现每一项都是前一项乘以 $-\dfrac{8}{9}$。因此，公比 $q = -\dfrac{8}{9}$。
步骤 3：判断收敛性
根据等比级数的收敛性定理，如果等比级数的公比 $|q| < 1$，则该级数收敛。由于 $|-\dfrac{8}{9}| = \dfrac{8}{9} < 1$，所以该级数收敛。