题目
设随机变量X,Y 相互独立且同分布,记U=X-Y,V=X+Y ,则随机变量U,V [ ]A. 独立B. 相关系数不为 0C. 不 独立D. 相关系数为 0
设随机变量X,Y 相互独立且同分布,记U=X-Y,V=X+Y ,则随机变量U,V [ ]
A. 独立
B. 相关系数不为 0
C. 不 独立
D. 相关系数为 0
题目解答
答案
D. 相关系数为 0
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X和Y相互独立且同分布，记U=X-Y,V=X+Y。
步骤 2：计算协方差
协方差Cov(U,V) = Cov(X-Y,X+Y) = Cov(X,X) + Cov(X,Y) - Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)。
由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = Cov(Y,X) = 0，所以Cov(U,V) = Var(X) - Var(Y)。
由于X和Y同分布，Var(X) = Var(Y)，所以Cov(U,V) = 0。
步骤 3：计算相关系数
相关系数ρ(U,V) = Cov(U,V) / (σ_U * σ_V) = 0 / (σ_U * σ_V) = 0。
设随机变量X和Y相互独立且同分布，记U=X-Y,V=X+Y。
步骤 2：计算协方差
协方差Cov(U,V) = Cov(X-Y,X+Y) = Cov(X,X) + Cov(X,Y) - Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)。
由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = Cov(Y,X) = 0，所以Cov(U,V) = Var(X) - Var(Y)。
由于X和Y同分布，Var(X) = Var(Y)，所以Cov(U,V) = 0。
步骤 3：计算相关系数
相关系数ρ(U,V) = Cov(U,V) / (σ_U * σ_V) = 0 / (σ_U * σ_V) = 0。