题目
7.（20分）设总体ξ服从参数为λ的指数分布，其中λ>0为未知参数.如果样本观测值为x_(1),x_(2),...,x_(n)，试求参数λ的极大似然法估计量.
7.（20分）设总体ξ服从参数为λ的指数分布，其中λ>0为未知参数.如果样本观测值为$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$，试求参数λ的极大似然法估计量.
题目解答
答案
指数分布的概率密度函数为 $f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$。似然函数为：
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i} \]
取对数似然函数：
\[ \ell(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n x_i \]
求导并令其为零：
\[ \frac{d \ell(\lambda)}{d \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0 \]
解得：
\[ \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\bar{x}} \]
其中，$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ 为样本均值。二阶导数为负，确保为极大值。
**答案：**
\[ \boxed{\frac{1}{\bar{x}}} \quad \text{或} \quad \boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}} \]
解析
本题考查极大似似然估计法的应用，解题思路是先根据总体的概率密度函数写出似然函数，再对似然函数取对数得到对数似然函数，然后对对数似然函数求导并令导数为零，解出参数的估计值。
- 写出指数分布的概率密度函数：
已知总体$\xi$服从参数为$\(\lambda$)的指数分布，其概率密度函数为$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$，$x\gt0$，$\lambda\gt0$。 - 构建似然函数：
设$\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ )是来自总体$\xi$的样本观测值，由于样本中的样本是相互独立且与总体同分布的，所以似然函数$L(\lambda)$为各个样本点概率密度函数的乘积，即：
$\begin{align*}L(\lambda) &= \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \lambda)\\&= \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i}\\&= \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}\end{align*}$ - 取对数似然函数函数函数：
为了方便求导，对似然函数$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数$\ell(\ell(\lambda)$：
$\begin{align*}\ell(\lambda) &= \ln L(\lambda)\\&= \ln(\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i})\\&= \ln(\lambda^n) + \ln(e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}))\\&= n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i\end{align*}$ - 求导并令其为零：
对对数似然函数$\ell(\lambda)$关于$\lambda$求导：
$\frac{d \ell(\lambda)}{d \lambda} = \frac{d}{d \lambda}(n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i$
令$\frac{d \ell(\lambda)}{d \lambda} = 0$，即$\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$。 - 求解$\lambda$
由$\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$，移项可得$\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^{n} x_i$，进一步解得$\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i}$。
又因为样本均值$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$，所以$\lambda = \frac{1}{\bar{x}}$。 - 验证极大值
对$\ell(\lambda)$求二阶导数：
$\frac{d^2 \ell(\lambda)}{d \lambda^2} = \frac{d}{d \lambda}(\frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i) = -\frac{n}{\lambda^2}$
因为$n\gt0$且$\lambda^2\gt0$，所以$\frac{d^2 \ell(\lambda)}{d \lambda^2} \lt 0$，这表明当$\lambda = \frac{1}{\bar{x}}$时，对数似然函数$\ell(\ell(\lambda)$取得极大值，从而似然函数$L(\lambda)$也取得极大值。