如果 lim _(xarrow infty )dfrac (2{x)^3-3(x)^2+1}((x-1)(4{x)^n+7)}=dfrac (1)(2) ,则 n=-|||-A. 1 B.2 C. 3 D.0

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是当$x$趋近于无穷大时，分式函数的极限求解方法。核心思路是通过比较分子和分母的最高次项的次数和系数来确定极限值。

关键思路：

1. “抓大头”原则：当$x \rightarrow \infty$时，分式的极限由分子和分母的最高次项决定。
2. 若分子最高次数为$m$，分母最高次数为$n$，则：
   • 当$m = n$时，极限为分子、分母最高次项系数之比；
   • 当$m > n$时，极限为$\infty$；
   • 当$m < n$时，极限为$0$。

破题关键：

• 分子最高次数为$3$，分母展开后最高次数为$n+1$。
• 根据极限值$\frac{1}{2}$，需满足分子与分母最高次数相等且系数比为$\frac{1}{2}$，从而解出$n$。

1. 分析分子和分母的最高次项

   • 分子：$2x^3 - 3x^2 + 1$的最高次项为$2x^3$，次数为$3$。
   • 分母：$(x-1)(4x^n + 7)$展开后为$4x^{n+1} + 7x - 4x^n - 7$，最高次项为$4x^{n+1}$，次数为$n+1$。

2. 根据极限值确定次数关系
   题目给出极限为$\frac{1}{2}$，说明分子和分母的最高次数相等，即：
   $3 = n + 1 \quad \Rightarrow \quad n = 2.$

3. 验证系数比
   分子最高次项系数为$2$，分母最高次项系数为$4$，系数比为：
   $\frac{2}{4} = \frac{1}{2},$
   完全符合题目条件。