[例10 】若 lim _(xarrow 0)dfrac (sin x)({e)^x-a}(cos x-b)=6, 则 a= __ ,b= __

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及泰勒展开、等价无穷小替换以及代数方程的求解。关键在于处理分式部分的极限，并结合余弦项的展开确定参数。

解题思路：

1. 确定分母的极限：当$x \rightarrow 0$时，若分母$e^x - a$不趋近于0，则分式$\frac{\sin x}{e^x - a}$的极限为0，导致整体乘积为0，与题目条件矛盾。因此必须有$a = 1$，使得分母趋近于0，形成$\frac{0}{0}$型不定式。
2. 展开分式部分：利用泰勒展开将$\sin x$和$e^x - 1$展开到一阶，得到分式部分的极限为1。
3. 处理余弦项：将$\cos x$展开到常数项，结合分式部分的极限，建立方程求解$b$。

确定$a$的值

当$x \rightarrow 0$时，若$e^x - a \rightarrow 0$，则$a = e^0 = 1$。此时分母为$e^x - 1 \approx x$，分子$\sin x \approx x$，分式$\frac{\sin x}{e^x - 1} \approx \frac{x}{x} = 1$，极限为1。

确定$b$的值

分式部分的极限为1，整体极限为：
$1 \cdot (\cos 0 - b) = 1 \cdot (1 - b) = 6$
解得：
$1 - b = 6 \quad \Rightarrow \quad b = -5$